XXXV OM - III - Zadanie 3

Dany jest ośmiościan foremny $ W $ o środku $ O $. W płaszczyźnie $ P $ przechodzącej przez punkt $ O $ wybrano koła $ K(O, r_1) $ i $ K (O, r_2) $ o środku $ O $ i promieniach $ r_1 $ i $ r_2 $, odpowiednio. Wykazać, że jeżeli

\[<br />
K(O, r_1) \subset P\cap W \subset K(O, r_2),<br />
\]

to

\[<br />
\frac{r_1}{r_2} \leq \frac{\sqrt{3}}{2}.<br />
\]

Rozwiązanie

Rozważmy przekrój ośmiościanu płaszczyzną $ P $. Punkt $ O $ jest środkiem symetrii tego przekroju, skąd wynika, że przekrój jest wielokątem o parzystej liczbie boków oraz że przeciwległe boki są równoległe i równej długości. W zależności od tego, czy płaszczyzna $ P $ przechodzi przez wierzchołek ośmiościanu, czy nie przechodzi, przekrój jest czworokątem lub sześciokątem. Rozważmy te przypadki kolejno.

Jeśli płaszczyzna $ P $ przechodzi przez wierzchołek ośmiościanu, to przechodzi też przez wierzchołek przeciwległy, skąd wynika, że sąsiednie boki przekroju mają równe długości, zatem przekrój jest rombem. Wobec tego średnica mniejszego z rozważanych kół nie przekracza odległości przeciwległych boków rombu, zaś średnica większego nie jest krótsza od dłuższej przekątnej rombu. Jeśli długość boku rombu wynosi $ d $, to $ 2r_1 \leq d $, $ 2r_2 \geq d \sqrt{2} $, a zatem

\[<br />
\frac{r_1}{r_2} \leq \frac{1}{\sqrt{2}} < \frac{\sqrt{3}}{2}.<br />
\]

W drugim przypadku przekrojem jest sześciokąt, którego przeciwległe boki są równoległe i mają równe długości, a przekątne sześciokąta przecinają się w punkcie $ O $, który jest ich wspólnym środkiem.

Przypuśćmy, że $ K $, $ L $, $ M $, $ N $, $ P $, $ Q $ są kolejnymi wierzchołkami tego sześciokąta, przy czym kąt $ KOL $ jest nie mniejszy od każdego z kątów mających wierzchołek $ O $ i ramiona przechodzące przez sąsiednie wierzchołki sześciokąta. Wobec tego $ \measuredangle KOL \geq 60^\circ $. Oczywiście promień $ r_1 $ jest nie większy od odległości punktu $ O $ od odcinka $ \overline{KL} $, promień $ r_2 $ jest nie mniejszy od $ OK $. Ponieważ punkt $ O $ jest środkiem symetrii całej figury, więc trójkąt $ KOL $ jest równoramienny, odległość punktu $ O $ od $ \overline{KL} $ równa jest długości wysokości opuszczonej na $ \overline{KL} $, tj. wynosi

\[<br />
OK \cdot \cos \left( \frac{1}{2} \measuredangle KOL \right) \leq OK \cdot \cos 30^\circ = OK \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}.<br />
\]

Wobec tego

\[<br />
\frac{r_1}{r_2} \leq \frac{\sqrt{3}}{2}.<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź