XXXV OM - III - Zadanie 4

Rzucamy $ n $-krotnie monetą i wynik zapisujemy w postaci ciągu $ (a_1, a_2, \ldots, a_n) $, gdzie $ a_i = 1 $ lub $ a_i = 2 $ w zależności od tego, czy w $ i $-tym rzucie wypadł orzeł, czy reszka. Przyjmujemy $ b_j = a_1 + a_2 + \ldots + a_j $ dla $ j = 1, 2,\ldots, n $, $ p(n) $ jest prawdopodobieństwem tego, że w ciągu $ (b_1, b_2, \ldots, b_n) $ wystąpi liczba $ n $. Wyznaczyć $ p(n) $ w zależności od $ p(n-1) $ i $ p(n-2) $.

Rozwiązanie

Bezpośrednio stwierdzamy, że $ p(1) = \frac{1}{2} $, $ p(2) = \frac{1}{4} $. Przypuśćmy, że $ n \geq 3 $. Zauważmy, że $ b_j \geq j $ dla każdego $ j $. Liczba $ n $ może wystąpić w ciągu $ (b_1, b_2, \ldots, b_n) $ w następujących dwóch przypadkach:

1. Pewien wyraz tego ciągu równy jest $ n-1 $, np. $ b_k = n-1 $ ($ k \leq n-1 $) i ponadto $ a_{k+1} = 1 $,
2. Pewien wyraz tego ciągu równy jest $ n - 2 $, np. $ b_r = n - 2 $ ($ r \leq n - 2 $) i ponadto $ a_{r + 1} = 2 $.

Prawdopodobieństwo dla wymienionych tu przypadków wynosi odpowiednio $ p(n-1)\cdot \frac{1}{2} $ oraz $ p(n-2)\cdot \frac{1}{2} $, przy czym przypadki te nie mogą wystąpić jednocześnie. Wobec tego

\[<br />
p(n) = p(n-1) \cdot \frac{1}{2}  + p(n-2)\cdot \frac{1}{2}.<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź