XXXV OM - III - Zadanie 5

Sześciokąt foremny o boku 1 zawarty jest w sumie mnogościowej sześciu kół mających średnicę 1. Wykazać, że żaden z wierzchołków sześciokąta nie należy do dwóch z tych kół.

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że pewien wierzchołek sześciokąta należy do dwóch kół. Gdyby żadne z tych dwóch kół nie zawierało innego wierzchołka sześciokąta, to każdy z pozostałych pięciu wierzchołków należałby do jednego z pozostałych czterech kół. Wynika stąd, że istnieje koło $ k_1 $ zawierające dwa wierzchołki sześciokąta. Średnicą tego koła jest bok sześciokąta (powiedzmy $ \overline{AB} $). W dowolnym otoczeniu każdego z punktów $ A $ i $ B $ znajdują się punkty nie należące do koła $ k_1 $ ale należące do sześciokąta. Zatem punkt $ A $ jest punktem pewnego koła różnego od $ k_1 $, podobnie punkt $ B $ jest punktem jeszcze innego koła. Wobec tego sześć wierzchołków sześciokąta należy do pięciu kół różnych od $ k_1 $. Istnieją więc dwa wierzchołki należące do koła $ k_2 $ będącego jednym z pięciu kół. Koła $ k_1 $ i $ k_2 $ pokrywają dwa boki sześciokąta, przy czym nie więcej niż jeden wierzchołek ma tę własność, że pewne jego otoczenie jest pokryte przez sumę kół $ k_1 $ i $ k_2 $. Pozostałe pięć wierzchołków należy do pozostałych czterech kół. Zatem wśród tych kół jest koło zawierające dwa wierzchołki. Rozumowanie to kontynuujemy stwierdzając, że każde koło zawiera dwa wierzchołki sześciokąta i w związku z tym jego średnicą jest bok sześciokąta. Ale wobec tego środek sześciokąta nie należy do żadnego z tych sześciu kół, bo jego odległość od środka boku wynosi $ \frac{\sqrt{3}}{2} $ i jest większa od długości promienia każdego z kół.

Wynika stąd, że jeśli rozważane koła pokrywają sześciokąt, to żaden z wierzchołków nie należy do dwóch kół.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź