XXXIV OM - I - Zadanie 1

$ A $ rzuca monetą $ n $ razy, $ B $ rzuca $ n+1 $ razy. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, ze $ B $ wyrzuci więcej orłów niż $ A $?

Rozwiązanie

Rozważmy następujące zdarzenia. $ Z_0 $ - zdarzenie polegające na tym, że gracz $ B $ wyrzucił orła więcej razy niż gracz $ A $, $ Z_r $ - zdarzenie polegające na tym, że $ B $ wyrzucił reszkę więcej razy niż gracz $ A $. Zdarzenia te są jednakowo prawdopodobne: gdy moneta jest symetryczna, to obojętne jest, którą stronę nazwiemy orłem, a którą reszką. Zatem $ P(Z_0) = P(Z_r) $. Niech teraz $ a_0 $, $ a_r $ $ b_0 $, $ b_r $ będą kolejno liczbą orłów i liczbą reszek wyrzuconych przez $ A $ oraz liczbą orłów i liczbą reszek wyrzuconych przez $ B $. Zgodnie z warunkami zadania $ a_0+ a_r = n $, $ b_0+b_r=n+1 $. Stąd, przez odjęcie stronami, $ (b_0-a_0)+ (b_r-a_r) = 1 $. Z równości tej wynika, że jedna i tylko jedna z liczb $ b_0-a_0 $ i $ b_r-a_r $ jest dodatnia, czyli, że zajść może i musi dokładnie jedno ze zdarzeń $ Z_0 $ i $ Z_r $. Innymi słowy zdarzenia te są rozłączne i wyczerpują wszystkie możliwości. Wobec tego $ P(Z_0)=P(Z_r)= 1/2 $.