XXXIV OM - I - Zadanie 2

Dowieść, że jeżeli $ A, B, C $ są kątami trójkąta, to

\[<br />
\sin A + \sin B + \sin C < \sin\left(A + \frac{B}{2}\right) + \sin\left(B + \frac{C}{2}\right) + \sin\left(C + \frac{A}{2}\right).<br />
\]

Rozwiązanie

Ponieważ $ A+B+C = 180^\circ $, więc $ A+ \frac{B}{2} = 90^\circ + \frac{A-C}{2} $ i na podstawie wzorów redukcyjnych otrzymujemy $ \sin \left( A + \frac{B}{2} \right) = cos \frac{A-C}{2} $. Analogicznie stwierdzamy, że $ \sin \left( B+ \frac{C}{2} \right) = \cos \frac{B-A}{2} $, $ \sin \left( C +\frac{A}{2} \right) = \cos \frac{C-B}{2} $.

Z drugiej strony

\[<br />
\begin{split}<br />
\sin A + \sin B+\sin C &= \frac{1}{2} (\sin A  + \sin B)+ \frac{1}{2}(\sin B+\sin C) + \frac{1}{2}(\sin C+ \sin A) = \\<br />
&=\sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2} + \sin \frac{B+C}{2} \cos \frac{B-C}{2} +\\<br />
&\quad +\sin \frac{C+A}{2} \cos \frac{C-A}{2}=\\<br />
&= \sin \left( 90^\circ - \frac{C}{2} \right) \cos \frac{A-B}{2}+ \\&\quad<br />
+ \sin \left( 90^\circ - \frac{A}{2} \right) \cos \frac{B-C}{2} +<br />
\sin \left( 90^\circ - \frac{B}{2} \right) \cos \frac{C-A}{2}=\\<br />
&=\cos \frac{C}{2} \cos \frac{A-B}{2} + \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B-C}{2} +<br />
\cos \frac{B}{2} \cos \frac{C-A}{2}<br />
\end{split}<br />
\]

Dana w zadaniu nierówność jest więc równoważna nierówności

\[<br />
\begin{split}<br />
\cos \frac{C}{2} \cos\frac{A-B}{2}+<br />
\cos \frac{A}{2} \cos\frac{B-C}{2}+<br />
\cos \frac{B}{2} \cos\frac{C-A}{2}<\qquad &\\<br />
<\cos \frac{B-A}{2} + \cos \frac{C-B}{2} + \cos \frac{A-C}{2}.&<br />
\end{split}<br />
\]

Dla dowodu tej ostatniej nierówności pokażemy, że każdy składnik występujący po lewej stronie jest mniejszy od odpowiedniego składnika po prawej stronie. Istotnie
$ \cos \frac{A-B}{2} = \cos \frac{B-A}{2} > 0 $ oraz $ 0 < \cos \frac{C}{2} < 1 $, bo każdy z kątów $ A $, $ B $, $ C $ jest większy od $ 0^\circ $ i mniejszy od $ 180^\circ $. Zatem $ \cos \frac{C}{2} \cos \frac{A-B}{2} < \cos \frac{B-A}{2} $. Analogicznie dostajemy $ \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B-C}{2} < \cos \frac{C-B}{2} $, $ \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C-A}{2} < \cos \frac{A-C}{2} $, co kończy dowód.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź