- LX OM
- LIX OM
- LVIII OM
- LVII OM
- LVI OM
- LV OM
- LIV OM
- LIII OM
- LII OM
- LI OM
- L OM
- XLIX OM
- XLVIII OM
- XLVIII OM - I etap
- XLVIII OM - I - Zadanie 1
- XLVIII OM - I - Zadanie 2
- XLVIII OM - I - Zadanie 3
- XLVIII OM - I - Zadanie 4
- XLVIII OM - I - Zadanie 5
- XLVIII OM - I - Zadanie 6
- XLVIII OM - I - Zadanie 7
- XLVIII OM - I - Zadanie 8
- XLVIII OM - I - Zadanie 9
- XLVIII OM - I - Zadanie 10
- XLVIII OM - I - Zadanie 11
- XLVIII OM - I - Zadanie 12
- XLVIII OM - II etap
- XLVIII OM - III etap
- XLVIII OM - I etap
- XLVII OM
- XLVI OM
- XLV OM
- XLIV OM
- XLIII OM
- XLII OM
- XLI OM
- XL OM
- XXXIX OM
- XXXVIII OM
- XXXVIII OM - I etap
- XXXVIII OM - I - Zadanie 1
- XXXVIII OM - I - Zadanie 2
- XXXVIII OM - I - Zadanie 3
- XXXVIII OM - I - Zadanie 4
- XXXVIII OM - I - Zadanie 5
- XXXVIII OM - I - Zadanie 6
- XXXVIII OM - I - Zadanie 7
- XXXVIII OM - I - Zadanie 8
- XXXVIII OM - I - Zadanie 9
- XXXVIII OM - I - Zadanie 10
- XXXVIII OM - I - Zadanie 11
- XXXVIII OM - I - Zadanie 12
- XXXVIII OM - II etap
- XXXVIII OM - III etap
- XXXVIII OM - I etap
- XXXVII OM
- XXXVII OM - I etap
- XXXVII OM - I - Zadanie 1
- XXXVII OM - I - Zadanie 2
- XXXVII OM - I - Zadanie 3
- XXXVII OM - I - Zadanie 4
- XXXVII OM - I - Zadanie 5
- XXXVII OM - I - Zadanie 6
- XXXVII OM - I - Zadanie 7
- XXXVII OM - I - Zadanie 8
- XXXVII OM - I - Zadanie 9
- XXXVII OM - I - Zadanie 10
- XXXVII OM - I - Zadanie 11
- XXXVII OM - I - Zadanie 12
- XXXVII OM - II etap
- XXXVII OM - III etap
- XXXVII OM - I etap
- XXXVI OM
- XXXV OM
- XXXIV OM
- XXXIII OM
- XXXIII OM - I etap
- XXXIII OM - I - Zadanie 1
- XXXIII OM - I - Zadanie 2
- XXXIII OM - I - Zadanie 3
- XXXIII OM - I - Zadanie 4
- XXXIII OM - I - Zadanie 5
- XXXIII OM - I - Zadanie 6
- XXXIII OM - I - Zadanie 7
- XXXIII OM - I - Zadanie 8
- XXXIII OM - I - Zadanie 9
- XXXIII OM - I - Zadanie 10
- XXXIII OM - I - Zadanie 11
- XXXIII OM - I - Zadanie 12
- XXXIII OM - II etap
- XXXIII OM - III etap
- XXXIII OM - I etap
- XXXII OM
- XXXI OM
- XXX OM
- XXIX OM
- XXVIII OM
- XXVII OM
- XXVI OM
- XXV OM
- XXIV OM
- XXIII OM
- XXII OM
- XXI OM
- XX OM
- XIX OM
- XVIII OM
- XVII OM
- XVI OM
- XV OM
- XIV OM
- XIII OM
- XII OM
- XI OM
- X OM
- IX OM
- VIII OM
- VII OM
- V OM
- VI OM
- IV OM
- III OM
- II OM
- I OM
- Skład komitetów Olimpiady
- Zawody stopnia I (przygotowawcze)
- Zadania z pierwszej olimpiady matematycznej
- I OM - B
- I OM - B - Zadanie 1
- I OM - B - Zadanie 2
- I OM - B - Zadanie 3
- I OM - B - Zadanie 4
- I OM - B - Zadanie 5
- I OM - B - Zadanie 6
- I OM - B - Zadanie 7
- I OM - B - Zadanie 8
- I OM - B - Zadanie 9
- I OM - B - Zadanie 10
- I OM - B - Zadanie 11
- I OM - B - Zadanie 12
- I OM - B - Zadanie 13
- I OM - B - Zadanie 14
- I OM - B - Zadanie 15
- I OM - B - Zadanie 16
- I OM - B - Zadanie 17
- I OM - B - Zadanie 18
- I OM - B - Zadanie 19
- I OM - B - Zadanie 20
- I OM - I etap
- I OM - II etap
- I OM - III etap
- I OM - B
XXXIV OM - I - Zadanie 4
We wnętrzu koła znajduje się
kół, których środki leżą na średnicy
. Wykazać, że obwód sumy mnogościowej tych kół nie przekracza obwodu
.
Rozwiązanie
Udowodnimy najpierw dwa lematy
Lemat 1. Obwód sumy mnogościowej dwóch kół stycznych zewnętrznie równy jest obwodowi koła opisanego na tej sumie, to jest takiego koła, do którego oba dane koła są styczne wewnętrznie i o środku współliniowym z ich środkami.
Dowód. Obwód sumy mnogościowej kół stycznych zewnętrznie o promieniach i
równy jest sumie obwodów tych kół, wynosi więc
. Koło opisane na sumie mnogościowej rozważanych kół stycznych ma średnicę będącą sumą średnic tamtych kół. Wobec tego jego obwód wynosi
.
Lemat 2. Obwód sumy mnogościowej dwóch kół i
, których okręgi przecinają się, jest mniejszy od sumy obwodu koła
i obwodu koła
stycznego zewnętrznie do
oraz stycznego wewnętrznie do
i mającego środek wspólliniowy ze środkami kół
i
.
Dowód. Obwód sumy mnogościowej równy jest liczbie
zmniejszonej o obwód ,,soczewki'' będącej częścią wspólną tych kół (
,
są odpowiednio promieniami kół
i
). Obwód tej części wspólnej jest większy od obwodu koła wpisanego w nią, to jest największego koła w niej zawartego, bo spośród obszarów o danym polu najkrótszy obwód ma koło, a pole ,,soczewki'' jest większe od pola koła w nią wpisanego. Wobec tego obwód sumy
jest mniejszy od liczby
, gdzie
jest promieniem koła wpisanego w soczewkę. Jeśli jednak
jest promieniem koła
, to
, więc obwód
jest mniejszy od liczby
. (Liczba ta jest mniejsza od sumy obwodów
i
.)
Dowód tezy sformułowanej w zadaniu przeprowadzimy przez indukcję względem liczby kół umieszczonych we wnętrzu koła .
Obwód jednego koła leżącego wewnątrz koła oczywiście nie przekracza obwodu
. Załóżmy, że dla pewnej liczby
obwód sumy mnogościowej co najwyżej
kół umieszczonych wewnątrz danego koła i mających środki na jego średnicy, nie przekracza obwodu tego koła. Rozważmy
kół znajdujących się wewnątrz koła
i mających środki na średnicy
. Jeżeli wśród tych kół znajdują się takie, które zawierają się w innych, to obwód sumy mnogościowej tych kół jest w istocie równy obwodowi sumy mnogościowej co najwyżej
kół. Stosuje się w tym przypadku założenie indukcyjne. Załóżmy teraz, że tak nie jest. Oznaczmy koła przez
według kolejności leżenia ich środków na średnicy koła
. Na mocy założenia indukcyjnego obwód sumy mnogościowej
nie przekracza obwodu koła opisanego na tej sumie. Jeżeli koło
nie ma wspólnych punktów wewnętrznych z kołem
, to wynika stąd, że obwód sumy
nie przekracza obwodu
.
Załóżmy, że koła i
przecinają się i rozpatrzmy koło
styczne wewnętrznie do
oraz zewnętrznie do
o środku leżącym na tej samej średnicy koła
. Na mocy lematu 2 obwód sumy mnogościowej
jest mniejszy od sumy obwodu koła
i
. Niech
,
będą punktami wspólnymi okręgów kół
,
. Z powyższego wynika, że ograniczona punktami
i
część obwodu sumy
jest mniejsza od sumy obwodu koła
i stycznego do niego łuku okręgu koła
o końcach w tych punktach. Wobec tego obwód sumy
jest mniejszy od sumy obwodu
i obwodu koła
. Oczywiście
nie ma wspólnych punktów wewnętrznych z
. Na podstawie rozważanego poprzednio przypadku ostatnia suma nie przekracza obwodu koła
. Kończy to dowód kroku indukcyjnego.
Na mocy zasady indukcji twierdzenie jest prawdziwe dla dowolnej liczby okręgów.
Komentarze
Dodaj nową odpowiedź