XXXIV OM - I - Zadanie 5

Udowodnić istnienie liczby $ C_0 $ o tej własności, że dla każdego ciągu $ x_1, x_2, \ldots, x_N $ liczb dodatnich i dla dowolnej liczby dodatniej $ K $, jeżeli liczba wyrazów $ x_j $ nie mniejszych od $ K $ jest nie większa od $ \frac{N}{K}  $, to

\[<br />
\frac{1}{N} \sum_{j=1}^N \log x_j \leq C_0.<br />
\]

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że ciąg $ x_1, x_2, \ldots, x_N $ spełnia podany warunek. Zmieniając w razie potrzeby porządek wyrazów, możemy założyć, że $ x_1 \geq x_2 \geq \ldots \geq x_N $. Pokażemy, że $ x_j \leq N/j $ dla $ j = 1,\ldots, N $. Przypuśćmy, że tak nie jest, czyli, że dla pewnego numeru $ m $ zachodzi nierówność $ x_m > N/m $. Weźmy dowolną liczbę $ K $ taką, że $ N/m < K < x_m $. Zgodnie z założeniem liczba wyrazów $ x_j $ większych od $ K $ jest nie większa od $ N/K $, a więc jest mniejsza od $ m $. Otrzymujemy sprzeczność, bo $ x_1,\ldots, x_m > K $. Zatem mamy $ x_j \leq N/j $ dla $ j= 1,\ldots, N $. Możemy teraz oszacować lewą stronę podanej w zadaniu nierówności:

\[<br />
L(N)= \frac{1}{N} \sum_{j=1}^N \log x_j \leq \frac{1}{N} \sum_{j=2}^N \log \frac{N}{j} = \frac{1}{N} \log \prod_{j=1}^N \frac{N}{j} = \frac{1}{N} \log \frac{N^N}{N!}.<br />
\]

Udowodnimy przez indukcję, że dla dowolnej liczby naturalnej $ N $ spełniona jest
nierówność $ N^N/N! < e^N $, gdzie $ e $ jest granicą rosnącego ciągu $ \left( \left(1+\frac{1}{n} \right) \right) $. Dla $ N = 1 $ ostatnia nierówność jest spełniona. Załóżmy prawdziwość tej nierówności dla pewnego $ N $. Wówczas

\[<br />
\frac{(N+1)^{N+1}}{(N+1)!} = \frac{(N+1)^N(N+1)}{N!(N+1)} = \frac{N^N}{N!} \left(<br />
1 + \frac{1}{N} \right)^N < \frac{N^N}{N!} \cdot e < e^N \cdot e = e^{N+1},<br />
\]

co kończy dowód indukcyjny. Kontynuując oszacowanie wielkości $ L(N) $ dostajemy

\[<br />
L(N) \leq \frac{1}{N} \log \frac{N^N}{N!}< \frac{1}{N} \log e^N =\log e.<br />
\]

Jako stałą $ C_0 $ możemy więc przyjąć liczbę $ \log e $.

Uwaga. W sformułowaniu zadania nie sprecyzowano, czy symbol $ \log $ oznacza logarytm dziesiętny, czy logarytm naturalny (tj. logarytm o podstawie $ e $). Nie ma to znaczenia. Teza jest słuszna dla logarytmów o dowolnej podstawie większej od $ 1 $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź