XXXIV OM - I - Zadanie 6

Wykazać, że dla dowolnego wielomianu $ P $ wielomian $ P\circ P \circ P \circ \ldots \circ P(x)-x $ dzieli się przez $ P(x)-x $.

Rozwiązanie

Kładąc $ P(x)= a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \ldots +a_1x+a_0 $ otrzymamy

\[<br />
\begin{split}<br />
P \circ P(x)-P(x) &= a_n (P(x)^n+- x^n)+ a_{n-1}P(x)^{n-1} + \ldots +a_1P(x)+a_0-\\<br />
&\quad-a_nx^n-a_{n-1}x^{n-1}-\ldots-a_1x-a_0 =\\<br />
&= a_n(P (x)^n-x^n)+ a_{n-1} (P(x)^{n-1} -x^{n-1}) + \ldots + a_1(P(x)- x).<br />
\end{split}<br />
\]

Ponieważ każdy składnik ostatniej sumy można rozłożyć:

\[<br />
a_k(P(x)^k-x^k) = a_k(P(x)-x)(P(x)^{k-1} + P(x)^{k-2}x+\ldots+ P(x) \cdot x^{k-2}+ x^{k-1}),<br />
\]

więc

\[<br />
P(x)-x|P \circ P(x)-P(x).<br />
\]

Podstawiając w ostatniej relacji $ P(x) $ w miejsce $ x $ otrzymamy $ P \circ P(x)-P(x) | P \circ P \circ P(x) - P \circ P(x) $, skąd na mocy przechodniości relacji podzielności wynika, że $ P(x)-x|P \circ P \circ P(x)-P \circ P(x) $. Stąd dla $ k= 1, 2, \ldots $ dostajemy

\[<br />
P(x)-x|\underbrace{P \circ P \circ \ldots \circ P}_k (x)-  \underbrace{P \circ P \circ \ldots  \circ P}_{k-1} (x)<br />
\]

Wielomian $ \underbrace{P \circ P \circ  \ldots  \circ P}_n (x) - x $ można przedstawić w postaci sumy

\[<br />
\begin{split}<br />
& \underbrace{P \circ P \circ \ldots  \circ P}_n (x)- x =<br />
(\underbrace{P \circ P \circ \ldots \circ P}_n(x) - \underbrace{P \circ P \circ \ldots \circ P}_{n-1}(x))+ \\<br />
& + \underbrace{(P \circ P \circ \ldots P}_{n-1}(x)-\underbrace{P \circ P \circ \ldots \circ P}_{n-2}(x))+ \ldots + (P \circ P(x)-P(x))+(P(x)-x)<br />
\end{split}<br />
\]

Na mocy poprzednich rozważań każdy składnik tej sumy dzieli się przez $ P(x) - x $, skąd wynika, że $ P(x) - x|\underbrace{P \circ P \circ \ldots \circ P}_n(x) - x $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź