XXXIV OM - I - Zadanie 8

Rozstrzygnąć, czy w kuli o promieniu 1 zmieści się 20 czworościanów foremnych o krawędzi 1 mających wnętrza parami rozłączne.

Rozwiązanie

Rozważmy dwudziestościan foremny wpisany w kulę. Każda ściana tego dwudziestościanu jest trójkątem równobocznym o boku dłuższym od 1 (porównaj zadanie przygotowawcze E z XXXI Olimpiady Matematycznej). Wobec tego w trójkącie sferycznym ograniczonym łukami trzech kół wielkich poprowadzonych przez pary wierzchołków dowolnej ściany dwudziestościanu, istnieją trzy punkty będące wierzchołkami trójkąta równobocznego o boku długości 1. Ten trójkąt równoboczny przyjmujemy za podstawę czworościanu, którego wierzchołkiem jest środek kuli. Długość każdej krawędzi tego czworościanu wynosi $ 1 $. Zbudowane w ten sposób czworościany, mające podstawy w trójkątach sferycznych wyznaczonych przez różne ściany dwudziestościanu, nie mają wspólnych punktów wewnętrznych. Podaliśmy więc sposób umieszczenia w kuli o promieniu 1 dwudziestu czworościanów foremnych o krawędzi 1 mających wnętrza parami rozłączne.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź