XXXIV OM - I - Zadanie 9

Liczby naturalne $ m, n $ spełniają warunek $ \sqrt{7} - \frac{m}{n} $. Wykazać, że $ \sqrt{7} - \frac{m}{n} > \frac{1}{mn} $.

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że liczby naturalne $ m $, $ n $ spełniają warunki

\[<br />
\sqrt{7} - \frac{m}{n} > 0, \ \sqrt{7} - \frac{m}{n} \leq \frac{1}{mn}.<br />
\]

Z tych warunków

\[<br />
\frac{m}{n} < \sqrt{7} \leq \frac{m}{n} + \frac{1}{mn}.<br />
\]

mamy więc następujące nierówności

\[<br />
\frac{m^2}{n^2} < 7 \leq \frac{m^2}{n^2} + 2\cdot \frac{1}{n^2} + \frac{1}{m^2n^2}, \<br />
m^2 < 7n^2 < m^2 + 2 + \frac{1}{m^2}.<br />
\]

Ponieważ nic może zachodzić równość $ m = 1 $, więc jest spełniona nierówność podwójna $ m^2 < 7n^2 < m^2+3 $.

Wobec tego albo (1) $ 7n^2 = m^2+1 $ albo $ 7n^2 = m^2+2 $. Pokażemy, że jest to niemożliwe. Liczba $ m $ ma jedną z następujących postaci $ m= 7k $, $ m= 7k \pm 1 $, $ m= 7k \pm 2 $, $ m= 7k \pm 3 $. Badając, jaką resztę daje $ m^2 $ przy dzieleniu przez $ 7 $ stwierdzamy, że

\[<br />
\begin{split}<br />
& (7k)^2= 49k^2+0\\<br />
& (7k \pm 1)^2 = 49k^2 \pm 14k+1 = 7a+1\\<br />
& (7k \pm 2)^2 = 49k^2 \pm 28k+4 = 7b+4\\<br />
& (7k \pm 3)^2 = 49k^2 \pm 42k+9 = 7c+2<br />
\end{split}<br />
\]

Zatem ani $ m^2+1 $ ani $ m^2+2 $ nie może być liczbą podzięlną przez $ 7 $ wbrew warunkowi (I). Tak więc przypuszczenie, że $ 7 - \frac{m}{n} \leq\frac{1}{mn} $ doprowadziło do sprzeczności.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź