I OM - B - Zadanie 1

Wyznaczyć współczynniki $ a $ i $ b $, równania $ x^2 + ax +b=0 $ tak, aby same wartości $ a $ i $ b $ były pierwiastkami tego równania.

Rozwiązanie

Sposób I

Na mocy twierdzeń o sumie i iloczynie pierwiastków równania kwadratowego liczby $ a $ i $ b $ są wtedy i tylko wtedy
pierwiastkami równania $ x^2 + ax + b = 0 $, gdy spełniają układ równań

\[<br /> \begin{cases}<br /> a+b = -a \\<br /> ab = b<br /> \end{cases}<br /> \]

czyli

\[<br /> (1) \qquad<br /> \begin{cases}<br /> b = - 2a \\<br /> b(a -1) = 0<br /> \end{cases}<br /> \]

Drugie z równań układu (1) jest spełnione, gdy $ b = 0 $ lub gdy $ a-1= 0 $, tj. gdy $ a = 1 $.

Układ (l) ma więc dwa rozwiązania:

\[<br /> \begin{cases}<br /> b = 0 \\<br /> a = 0<br /> \end{cases}<br /> \quad \text{lub}\quad<br /> \begin{cases}<br /> a = 1 \\<br /> b = -2<br /> \end{cases}<br /> \]

Równaniami kwadratowymi o żądanej właśności są równania

\[<br /> x^2 + 0\cdot x + 0 = 0, \text{ i } x^2 + x - 2 = 0.<br /> \]

Sposób II

Liczby $ a $ i $ b $ mają spełniać równanie $ x^2 + ax + b = 0 $. Zatem

\[<br /> \begin{cases}<br /> a^2+a^2+b = 0 \\<br /> b^2 + ab + b = 0<br /> \end{cases}<br /> \]

czyli

\[<br /> (2) \qquad<br /> \begin{cases}<br /> 2a^2+b = 0 \\<br /> b(a+b+1) = 0<br /> \end{cases}<br /> \]

Drugie z równań układu (2) daje $ b = 0 $ lub $ a + b + 1 = 0 $.

  1. Biorąc $ b = 0 $ otrzymujemy rozwiązanie

    \[<br /> \begin{cases}<br /> a = 0 \\<br /> b = 0<br /> \end{cases}<br /> \]

  2. Biorąc $ a + b + 1 = 0 $ mamy $ b = - a-l $; po podstawieniu do pierwszego z równań układu (2) otrzymujemy równanie

    \[<br /> 2a^2 - a - 1 = 0<br /> \]

    którego pierwiastkami są liczby $ a = 1 $ i $ a = -1 $, przy czym odpowiednimi wartościami $ b $ są liczby $ b = - 2 $ i $ b=-\frac{1}{2} $.

    Stąd dalsze rozwiązania układu równań (2):

    \[<br /> \begin{cases}<br /> a = 1 \\<br /> b = -2<br /> \end{cases}<br /> \quad \text{lub}\quad<br /> \begin{cases}<br /> a = -\frac{1}{2} \\<br /> b = -\frac{1}{2}<br /> \end{cases}<br /> \]

Ze znalezionych rozwiązań tylko liczby $ a = 0 $, $ b = 0 $ oraz
liczby $ a = 1 $, $ b = - 2 $ spełniają warunki zadania. Liczby $ a = -\frac{1}{2} $,
$ b = -\frac{1}{2} $ warunków tych nie spełniają, gdyż pierwiastkami równania
$ x^2 - \frac{1}{2}x -\frac{1}{2} = 0 $ są liczby $ -\frac{1}{2} $ i 1, a nie liczby $ -\frac{1}{2} $ i $ -\frac{1}{2} $.

Aby wyjaśnić ten paradoks, zauważmy, że układ równań (2)
daje tylko warunki konieczne dla poszukiwanych liczb $ a $ i $ b $,
Nie są to jednak warunki dostateczne: jeśli bowiem liczby
$ a $ i $ b $ spełniają układ (2), to każda z nich jest wprawdzie pierwiastkiem
równania $ x^2 + ax + b = 0 $, ale z tego nie wynika, że $ a $ i $ b $
dają oba pierwiastki tego równania. W przypadku, gdy $ a = b $,
jest to jeden i ten sam pierwiastek, jak to właśnie zachodzi w równaniu
$ x^2 -\frac{1}{2}x -\frac{1}{2} = 0 $.

Sposób III

Ponieważ pierwiastkami równania $ x^2 + ax + b = 0 $ są liczby $ \frac{-a+\sqrt{a^2-4b}}{2} $
i $ \frac{-a-\sqrt{a^2-4b}}{2} $, więc poszukiwane liczby $ a $ i $ b $ czynią zadość bądź układowi równań

\[<br /> (3) \qquad<br /> \begin{cases}<br /> \frac{-a+\sqrt{a^2-4b}}{2} = a \\<br /> \frac{-a-\sqrt{a^2-4b}}{2} = b<br /> \end{cases}<br /> \]

bądź też układowi równań

\[<br /> (4) \qquad<br /> \begin{cases}<br /> \frac{-a-\sqrt{a^2-4b}}{2} = a \\<br /> \frac{-a+\sqrt{a^2-4b}}{2} = b<br /> \end{cases}<br /> \]

Oba układy (3) i (4) możemy rozwiązać jednocześnie. Dodając stronami
równania każdego układu oraz odejmując je stronami otrzymujemy

\[<br /> \begin{cases}<br /> -a = a+b \\<br /> \sqrt{a^2-4b} = a-b<br /> \end{cases}<br /> \quad \text{lub}\quad<br /> \begin{cases}<br /> -a = a+b \\<br /> -\sqrt{a^2-4b} = a-b<br /> \end{cases}<br /> \]

Stąd

\[<br /> \begin{cases}<br /> b = -2a \\<br /> a^2-4b = a^2-2ab+b^2<br /> \end{cases}<br /> \]

czyli

\[<br /> \begin{cases}<br /> b = -2a \\<br /> b(b-2a+4) = 0<br /> \end{cases}<br /> \]

Ostatnie równanie daje dwie możliwości

  1. Biorąc $ b = 0 $ i $ b = - 2a $ otrzymujemy

    \[<br /> a = 0,\quad b = 0<br /> \]

  2. Biorąc $ b- 2a + 4 = 0 $ i $ b = - 2a $ otrzymujemy

    \[<br /> a = 1, \quad b =-2<br /> \]

Wartości $ a = 0 $, $ b = 0 $ spełniają oba układy (3) i (4), natomiast wartości
$ a = 1 $, $ b = - 2 $ spełniają tylko układ (3). Otrzymujemy
- zgodnie z poprzednim - dwa równania kwadratowe o żądanej
własności: $ x^2 + 0\cdot x + 0 = 0 $ i $ x^2 + x - 2 = 0 $.