I OM - B - Zadanie 1

Wyznaczyć współczynniki $ a $ i $ b $, równania $ x^2 + ax +b=0 $ tak, aby same wartości $ a $ i $ b $ były pierwiastkami tego równania.

Rozwiązanie

Sposób I

Na mocy twierdzeń o sumie i iloczynie pierwiastków równania kwadratowego liczby $ a $ i $ b $ są wtedy i tylko wtedy
pierwiastkami równania $ x^2 + ax + b = 0 $, gdy spełniają układ równań

\[<br />
\begin{cases}<br />
a+b = -a \\<br />
ab = b<br />
\end{cases}<br />
\]

czyli

\[<br />
(1) \qquad<br />
\begin{cases}<br />
b = - 2a \\<br />
b(a -1) = 0<br />
\end{cases}<br />
\]

Drugie z równań układu (1) jest spełnione, gdy $ b = 0 $ lub gdy $ a-1= 0 $, tj. gdy $ a = 1 $.

Układ (l) ma więc dwa rozwiązania:

\[<br />
\begin{cases}<br />
b = 0 \\<br />
a = 0<br />
\end{cases}<br />
\quad \text{lub}\quad<br />
\begin{cases}<br />
a = 1 \\<br />
b = -2<br />
\end{cases}<br />
\]

Równaniami kwadratowymi o żądanej właśności są równania

\[<br />
x^2 + 0\cdot x + 0 = 0, \text{ i } x^2 + x - 2 = 0.<br />
\]

Sposób II

Liczby $ a $ i $ b $ mają spełniać równanie $ x^2 + ax + b = 0 $. Zatem

\[<br />
\begin{cases}<br />
a^2+a^2+b = 0 \\<br />
b^2 + ab + b = 0<br />
\end{cases}<br />
\]

czyli

\[<br />
(2) \qquad<br />
\begin{cases}<br />
2a^2+b = 0 \\<br />
b(a+b+1) = 0<br />
\end{cases}<br />
\]

Drugie z równań układu (2) daje $ b = 0 $ lub $ a + b + 1 = 0 $.

  1. Biorąc $ b = 0 $ otrzymujemy rozwiązanie

    \[<br />
\begin{cases}<br />
a = 0 \\<br />
b = 0<br />
\end{cases}<br />
\]
  2. Biorąc $ a + b + 1 = 0 $ mamy $ b = - a-l $; po podstawieniu do pierwszego z równań układu (2) otrzymujemy równanie

    \[<br />
2a^2 - a - 1 = 0<br />
\]

    którego pierwiastkami są liczby $ a = 1 $ i $ a = -1 $, przy czym odpowiednimi wartościami $ b $ są liczby $ b = - 2 $ i $ b=-\frac{1}{2} $.

    Stąd dalsze rozwiązania układu równań (2):

    \[<br />
\begin{cases}<br />
a = 1 \\<br />
b = -2<br />
\end{cases}<br />
\quad \text{lub}\quad<br />
\begin{cases}<br />
a = -\frac{1}{2} \\<br />
b = -\frac{1}{2}<br />
\end{cases}<br />
\]

Ze znalezionych rozwiązań tylko liczby $ a = 0 $, $ b = 0 $ oraz
liczby $ a = 1 $, $ b = - 2 $ spełniają warunki zadania. Liczby $ a = -\frac{1}{2} $,
$ b = -\frac{1}{2} $ warunków tych nie spełniają, gdyż pierwiastkami równania
$ x^2 - \frac{1}{2}x -\frac{1}{2} = 0 $ są liczby $ -\frac{1}{2} $ i 1, a nie liczby $ -\frac{1}{2} $ i $ -\frac{1}{2} $.

Aby wyjaśnić ten paradoks, zauważmy, że układ równań (2)
daje tylko warunki konieczne dla poszukiwanych liczb $ a $ i $ b $,
Nie są to jednak warunki dostateczne: jeśli bowiem liczby
$ a $ i $ b $ spełniają układ (2), to każda z nich jest wprawdzie pierwiastkiem
równania $ x^2 + ax + b = 0 $, ale z tego nie wynika, że $ a $ i $ b $
dają oba pierwiastki tego równania. W przypadku, gdy $ a = b $,
jest to jeden i ten sam pierwiastek, jak to właśnie zachodzi w równaniu
$ x^2 -\frac{1}{2}x -\frac{1}{2} = 0 $.

Sposób III

Ponieważ pierwiastkami równania $ x^2 + ax + b = 0 $ są liczby $ \frac{-a+\sqrt{a^2-4b}}{2} $
i $ \frac{-a-\sqrt{a^2-4b}}{2} $, więc poszukiwane liczby $ a $ i $ b $ czynią zadość bądź układowi równań

\[<br />
(3) \qquad<br />
\begin{cases}<br />
\frac{-a+\sqrt{a^2-4b}}{2} = a \\<br />
\frac{-a-\sqrt{a^2-4b}}{2} = b<br />
\end{cases}<br />
\]

bądź też układowi równań

\[<br />
(4) \qquad<br />
\begin{cases}<br />
\frac{-a-\sqrt{a^2-4b}}{2} = a \\<br />
\frac{-a+\sqrt{a^2-4b}}{2} = b<br />
\end{cases}<br />
\]

Oba układy (3) i (4) możemy rozwiązać jednocześnie. Dodając stronami
równania każdego układu oraz odejmując je stronami otrzymujemy

\[<br />
\begin{cases}<br />
-a = a+b \\<br />
\sqrt{a^2-4b} = a-b<br />
\end{cases}<br />
\quad \text{lub}\quad<br />
\begin{cases}<br />
-a = a+b \\<br />
-\sqrt{a^2-4b} = a-b<br />
\end{cases}<br />
\]

Stąd

\[<br />
\begin{cases}<br />
b = -2a \\<br />
a^2-4b = a^2-2ab+b^2<br />
\end{cases}<br />
\]

czyli

\[<br />
\begin{cases}<br />
b = -2a \\<br />
b(b-2a+4) = 0<br />
\end{cases}<br />
\]

Ostatnie równanie daje dwie możliwości

  1. Biorąc $ b = 0 $ i $ b = - 2a $ otrzymujemy

    \[<br />
a = 0,\quad b = 0<br />
\]
  2. Biorąc $ b- 2a + 4 = 0 $ i $ b = - 2a $ otrzymujemy

    \[<br />
a = 1, \quad b =-2<br />
\]

Wartości $ a = 0 $, $ b = 0 $ spełniają oba układy (3) i (4), natomiast wartości
$ a = 1 $, $ b = - 2 $ spełniają tylko układ (3). Otrzymujemy
- zgodnie z poprzednim - dwa równania kwadratowe o żądanej
własności: $ x^2 + 0\cdot x + 0 = 0 $ i $ x^2 + x - 2 = 0 $.