XXXIV OM - I - Zadanie 10

Czy istnieją trzy punkty płaszczyzny o współrzędnych postaci $ a+b\sqrt[3]{2} $, gdzie $ a, b $ są liczbami wymiernymi, o tej własności, że co najmniej jedna z odległości dowolnego punktu płaszczyzny od każdego z tych punktów jest liczbą niewymierną?

Rozwiązanie

Punkty takie istnieją. Pokażemy, że np. trójka punktów $ A = (\sqrt[3]{2},0) $, $ B=(-\sqrt[3]{2},0) $, $ C = (0,0) $ ma żądaną własność. Przypuśćmy bowiem, że odległość pewnego punktu $ P=(x,y) $ od każdego z punktów $ A $, $ B $, $ C $ jest liczbą wymierną. Wobec tego wymierne są też liczby $ PA^2 = (x-\sqrt[3]{2})^2+y^2 $, $ PB^2 = (x+\sqrt[3]{2})^2+y^2 $, $ PC^2 = x^2+y^2 $, a więc liczba $ PA^2+PB^2-2PC^2 = (x^2-2\sqrt[3]{2}x+\sqrt[3]{4}+y^2) + (x^2+2\sqrt[3]{2}x+\sqrt[3]{4}+y^2)-2(x^2+y^2) = 2\sqrt[3]{4} $ musiałaby być wymierna - co nie jest prawdą. Otrzymana sprzeczność dowodzi, że co najmniej jedna z odległości $ PA $, $ PB $, $ PC $ jest liczbą niewymierną.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź