XXXIV OM - II - Zadanie 1

Na płaszczyźnie z ustalonym układem współrzędnych dany jest wielokąt wypukły, którego wszystkie wierzchołki mają współrzędne całkowite. Dowieść, że podwojone pole tego wielokąta jest liczbą całkowitą.

Rozwiązanie

Obieramy dowolny wierzchołek wielokąta i prowadzimy z niego wszystkie przekątne. Podzielimy w ten sposób dany wielokąt na trójkąty, których wierzchołki mają współrzędne całkowite. Wystarczy więc udowodnić rozważane twierdzenie dla trójkąta.
om34_2r_img_5.jpg
Przez wierzchołki trójkąta prowadzimy proste równolegle do osi układu współrzędnych. Proste te przecinają się w punktach o współrzędnych całkowitych, wyznaczają więc prostokąt, którego pole jest liczbą całkowitą i na którego bokach leżą wierzchołki rozważanego trójkąta. Trójkąt nasz powstaje z tego prostokąta przez odcięcie jednego, dwóch albo trzech trójkątów prostokątnych o przyprostokątnych równoległych do osi układu współrzędnych i wierzchołkach w punktach o współrzędnych całkowitych. Długości przyprostokątnych tych trójkątów są liczbami całkowitymi, więc pole każdego trójkąta (równe połowie iloczynu długości przyprostokątnych) jest liczbą całkowitą albo połową liczby całkowitej. Wobec tego pole $ S $ rozważanego trójkąta jest różnicą liczby całkowitej (pola prostokąta) i jednej, dwóch albo trzech liczb, z których każda jest całkowita albo jest połową liczby całkowitej. Zatem $ 2S $ jest liczbą całkowitą.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź