XXXIV OM - II - Zadanie 2

Dane są takie trzy liczby nieujemne $ a, b, c $, że suma każdych dwóch jest nie mniejsza od pozostałej. Dowieść, że

\[<br />
\sqrt{a+b-c} + \sqrt{a-b+c} + \sqrt{-a+b+c} \leq \sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c}.<br />
\]

Rozwiązanie

Zastosujemy nierówność

\[<br />
 (1) \qquad  \sqrt{\frac{x+y}{2}} \geq \frac{1}{2} (\sqrt{x}+\sqrt{y}), \ \textrm{dla} \ x, y > 0,<br />
\]

którą można wyprowadzić z własności funkcji pierwiastkowej, albo udowodnić bezpośrednio jak następuje. Podnosząc obustronnie do kwadratu otrzymujemy nierówność równoważną

\[<br />
\frac{x+y}{2} \geq \frac{1}{4} (x+y+2\sqrt{xy}),<br />
\]

którą następnie przekształcamy do postaci

\[<br />
\begin{split}<br />
\frac{x+y}{4} \geq \frac{\sqrt{xy}}{2},\\<br />
x+y-2\sqrt{xy} \geq 0,\\<br />
(\sqrt{x} - \sqrt{y})^2 \geq 0<br />
\end{split}<br />
\]

Cztery powyższe nierówności są oczywiście równoważne, a ostatnia jest spełniona dla wszystkich nieujemnych $ x $, $ y $.

W nierówności (1) podstawiamy $ x= a+b-c $, $ y = a-b+c $ i dostajemy

\[<br />
\sqrt{a} \geq \frac{1}{2}(\sqrt{a+b-c}+\sqrt{a-b+c}).<br />
\]

Analogicznie

\[<br />
\sqrt{b} \geq \frac{1}{2}(\sqrt{a+b-c}+\sqrt{-a+b+c})<br />
\]

i

\[<br />
\sqrt{c} \geq \frac{1}{2}(\sqrt{a-b+c}+\sqrt{-a+b+c}).<br />
\]

Po dodaniu tych nierówności otrzymujemy

\[<br />
\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} \geq \sqrt{a+b-c}+\sqrt{a-b+c}+\sqrt{-a+b+c}.<br />
\]

Uwaga. Jeśli liczby $ a $, $ b $, $ c $ są różne, to każdą z powyższych nierówności można zastąpić przez nierówność ostrą.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź