XXXIV OM - II - Zadanie 3

Punkt $ P $ leży wewnątrz trójkąta $ ABC $, przy czym $ \measuredangle PAC = \measuredangle PBC $. Punkty $ L $ i $ M $ są odpowiednio rzutami $ P $ na proste $ BC $ i $ CA $, $ D $ jest środkiem odcinka $ AB $. Dowieść, że $ DL = DM $.

Rozwiązanie

Niech $ Q $ i $ R $ będą odpowiednio środkami odcinków $ AP $ i $ BP $. Punkty te są środkami kół opisanych odpowiednio na trójkątach $ APM $ i $ BPL $, skąd wynika, że

\[<br />
\measuredangle MQP = 2 \measuredangle PAM \ \textrm{i} \ \measuredangle LRP = 2 \measuredangle PBL<br />
\]

jako kąty środkowe oparte na tych samych łukach, co odpowiednie kąty wpisane. Kąty $ PAM $ i $ PBL $ są równe z założenia. Zatem

\[<br />
\<br />
 (1) \qquad  \measuredangle MQP= \measuredangle LRP.<br />
\]

om34_2r_img_6.jpg
Odcinek $ \overline{DQ} $ łączy środki boków $ \overline{AB} $ i $ \overline{AP} $ trójkąta $ ABP $. Wynika stąd, że $ \overline{DQ} || \overline{BP} $. Analogicznie $ \overline{DR} || \overline{AP} $. Wobec tego czworokąt $ DRPQ $ jest równoległobokiem, skąd wynika, że

\[<br />
 (2) \qquad  \measuredangle PQD = \measuredangle PRD.<br />
\]

Z równości (1) i (2) otrzymujemy, że $ \measuredangle MQD = \measuredangle DRL $. Ponadto $ MQ= QP= DR $ oraz $ LR= RP= DQ $. Wynika stąd, że trójkąty $ MQD $ i $ DRL $ są przystające, a zatem $ DM $= $ DL $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź