XXXIV OM - II - Zadanie 5

Dwusieczne kątów $ CAB, ABC, BCA $ trójkąta $ ABC $ przecinają okrąg opisany na tym trójkącie odpowiednio w punktach $ K, L, M $. Dowieść, że

\[<br />
AK+BL+CM > AB+BC+CA.<br />
\]

Rozwiązanie

om34_2r_img_7.jpg
Oznaczmy krótko przez $ A $, $ B $, $ C $ odpowiednie kąty trójkąta $ ABC $. Kąt $ AKB $ jest oparty na tym samym łuku, co kąt $ C $, więc $ \measuredangle AKB = C $. W trójkącie $ AKB $ suma miar kątów wynosi $ 180^\circ $, więc $ \measuredangle ABK = 180^\circ -\measuredangle AKB- \measuredangle BAK = 180^\circ - C- A/2 $. Stąd i z twierdzenia sinusów zastosowanego do trójkąta $ ABK $ otrzymujemy $ AK= 2R\sin \measuredangle ABK = 2R \sin (180^\circ -C-A/2) = 2R\sin \left( C+ \frac{A}{2} \right) $. Analogicznie mamy

\[<br />
BL= 2R \sin \left(A+ \frac{B}{2} \right).<br />
\]
\[<br />
CM = 2R \sin \left(B+ \frac{C}{2} \right),<br />
\]

skąd wynika, że

\[<br />
AK+BL+CM = 2R \left( \sin \left(A + \frac{B}{2} \right) + \sin \left(B+\frac{C}{2} \right) +\sin \left(C+\frac{A}{2}\right) \right),<br />
\]

natomiast

\[<br />
AB+BC+CA=2R(\sin A+\sin B+\sin C).<br />
\]

Dana w zadaniu nierówność jest więc równoważna nierówności

\[<br />
\sin A+\sin B+\sin C <  \sin \left(A + \frac{B}{2} \right) + \sin \left(B+\frac{C}{2} \right) +\sin \left(C+\frac{A}{2}\right),<br />
\]

a ta ostatnia była treścią zadania 2 z zawodów stopnia pierwszego.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź