XXXIV OM - III - Zadanie 1

Na płaszczyźnie dany jest $ n $-kąt wypukły $ P_1, \ldots, P_n $ oraz punkt $ Q $ w jego wnętrzu nie należący do żadnej przekątnej. Dowieść, że jeśli $ n $ jest liczbą parzystą, to liczba trójkątów $ P_iP_jP_k $ ($ i,j,k= 1,2,\ldots,n $), które zawierają punkt $ Q $ jest parzysta.

Rozwiązanie

om34_3r_img_11.jpg
Rozważmy najpierw czworokąt wypukły $ ABCD $ i punkt $ K $ w jego wnętrzu nie należący do żadnej przekątnej. Punkt $ K $ należy do jednej z dwóch półpłaszczyzn o krawędzi $ AC $. Wynika stąd, że punkt $ K $ należy do dokładnie dwóch spośród trójkątów $ ABC $, $ ABD $, $ ACD $, $ BCD $ (na rys. 11 punkt $ K $ należy do trójkątów $ ACD $ i $ BCD $). Udowodniliśmy w ten sposób tezę twierdzenia dla $ n = 4 $. Przypuśćmy, że $ n $ jest liczbą parzystą większą od $ 4 $. Wybierając dowolne cztery wierzchołki $ P_i $, $ P_j $, $ P_k $, $ P_l $ danego wielokąta otrzymamy czworokąt wypukły. Jeśli punkt $ Q $ należy do tego czworokąta, to należy on do dwóch spośród trójkątów $ P_iP_jP_k $, $ P_iP_jP_l $, $ P_iP_kP_l $, $ P_jP_kP_l $; jeśli punkt $ Q $ nie należy do czworokąta, to nie należy również do żadnego z tych trójkątów. W każdym przypadku liczba trójkątów wyznaczonych przez wierzchołki $ P_i $, $ P_j $, $ P_k $, $ P_l $ i zawierających punkt $ Q $ jest parzysta. Dowolnie ustalony trójkąt $ P_iP_jP_k $ jest zawarty w $ n-3 $ czworokątach o wierzchołkach będących wierzchołkami danego wielokąta. Wobec tego rozważając wszystkie czworokąty $ P_iP_jP_kP_l $ i zawarte w nich trójkąty zawierające punkt $ Q $ policzymy każdy trójkąt $ (n-3) $-krotnie. Dodając liczby trójkątów zawartych w czworokątach $ P_iP_jP_kP_l $ i zawierających punkt $ Q $ otrzymamy więc pewną liczbę parzystą równą $ (n-3)t $, gdzie $ t $ jest liczbą trójkątów $ P_iP_jP_k $ zawierających punkt $ Q $. Ponieważ $ n-3 $ jest liczbą nieparzystą (bo $ n $ jest liczbą parzystą), więc liczba rozważanych trójkątów jest parzysta.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź