XXXIV OM - III - Zadanie 4

Udowodnić, że jeżeli liczby naturalne $ a, b, c, d $ spełniają równość $ ab = cd $, to

\[<br />
\frac{\mathrm{NWD}(a, c)\cdot \mathrm{NWD}(a, d)}{\mathrm{NWD}(a, b, c, d)} = a.<br />
\]

Rozwiązanie

Udowodnimy najpierw, że dla dowolnych liczb naturalnych $ k $, $ j $, $ m $, $ n $

\[<br />
 (1) \qquad  \mathrm{NWD}(k,l) \cdot \mathrm{NWD} (m, n) = \mathrm{NWD} (km, kn, lm, ln).<br />
\]

Jeśli liczba pierwsza $ p $ spełnia relacje $ p^\alpha | \mathrm{NWD} (k, l) $ oraz $ p^\beta | \mathrm{NWD} (m,n) $, to $ p^\alpha | k $, $ p^\alpha | l $, $ p^\beta | m $, $ p^\beta | n $, więc $ p^{\alpha+\beta} $ dzieli każdą z liczb $ km $, $ kn $, $ lm $, $ ln $. Stąd $ p^{\alpha+\beta} | \mathrm{NWD} (km, kn, lm, ln) $. Wobec tego $ \mathrm{NWD} (k, l) \cdot \mathrm{NWD} (m, n) | \mathrm{NWD} (km, kn, lm, ln) $.

Jeśli $ p^\gamma | \mathrm{NWD} (km, kn, lm, ln) $ oraz $ p^\alpha | \mathrm{NWD} (k, l) $, ale $ p^{\alpha + 1} not \mid \mathrm{NWD} (k, l) $, to jedna z liczb $ k $, $ l $ nie dzieli się przez $ p^{\alpha+1} $, np. $ k= p^\alpha \cdot k_1 $, $ p \not \mid k_1 $. Ponieważ $ p^\gamma | km $, $ p^\gamma | kn $, więc $ p^{\gamma \cdot \alpha} | \mathrm{NWD}(m, n) $.

Wynika stąd, że $ p^\gamma | \mathrm{NWD} (k, l) \cdot \mathrm{NWD} (m, n) $, więc $ \mathrm{NWD} (km, kn, lm, ln) | \mathrm{NWD} (k, l) \cdot \mathrm{NWD} (m, n) $.

Tym samym równość (1) została udowodniona. Podstawiając w tej równości $ k = a $, $ l = c $, $ m = a $, $ n= d $ otrzymamy

\[<br />
\mathrm{NWD}(a, c) \cdot \mathrm{NWD}(a,d)= \mathrm{NWD} (a^2, ad, ac, cd).<br />
\]

Wobec założenia $ cd = ab $ dostajemy stąd

\[<br />
\mathrm{NWD} (a, c) \cdot \mathrm{NWD} (a, d) = \mathrm{NWD} (a^2, ad, ac, ab) = a \cdot \mathrm{NWD} (a, d, c, b) = a \cdot \mathrm{NWD} (a, b, c, d).<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź