XXXIV OM - III - Zadanie 5

Na płaszczyźnie dane są wektory $ \overrightarrow{a_1}, \overrightarrow{a_2}, \overrightarrow{a_3} $ o długości 1. Dowieść, że można tak wybrać liczby $ \varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3 $ równe 1 lub 2, że długość wektora $ \varepsilon_1\overrightarrow{a_1} + \varepsilon_2\overrightarrow{a_2} + \varepsilon_3\overrightarrow{a_3} $ jest nie mniejsza od 2.

Rozwiązanie

Zaczepmy w dowolnym punkcie $ 0 $ wektory $ \overrightarrow{a_1} $, $ \overrightarrow{a_2} $, $ \overrightarrow{a_3} $. Wyznaczają one trzy proste przecinające się w punkcie $ 0 $. Wśród kątów wyznaczonych przez pary tych prostych istnieje kąt o mierze $ \alpha $ nie większej od $ \frac{\pi}{3} $. Przypuśćmy, że jest to kąt między prostymi wyznaczonymi przez wektory $ \overrightarrow{a_1} $ i $ \overrightarrow{a_2} $ (w innym przypadku wystarczy zmienić numerację wektorów). Wobec tego jeden z kątów $ \measuredangle (\overrightarrow{a_1}, \overrightarrow{a_2}) $, $ \measuredangle (\overrightarrow{a_1}, -\overrightarrow{a_2}) $ ma miarę $ \alpha \in \left[0, \frac{\pi}{3} \right] $.

Przyjmujemy $ \varepsilon_2 $ tak, by kąt $ \measuredangle (\overrightarrow{a_1}\varepsilon_2 \overrightarrow{a_2}) $ miał miarę $ \alpha $. Obliczmy iloczyn skalarny wektora $ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{a_1}+\varepsilon_2 \overrightarrow{a_2} $ przez siebie:

\[<br />
\begin{split}<br />
\overrightarrow{b_2}^2 = (\overrightarrow{a_1}+\varepsilon_2 \overrightarrow{a_2})^2 = |\overrightarrow{a_1}|^2 + |\overrightarrow{a_2}|^2 + 2 \overrightarrow{a_1} |\varepsilon_2 \overrightarrow{a_2} |=\\<br />
2 + 2 |\overrightarrow{a_1}| \cdot |\varepsilon_2 \overrightarrow{a_2}| \cdot \cos \alpha \geq 2 + 2 \cdot \frac{1}{2} = 3.<br />
\end{split}<br />
\]

Wobec tego $ |\overrightarrow{b}| \geq \sqrt{3} $.

Zauważmy następnie, że

\[<br />
(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a_3})^2+<br />
(b-\overrightarrow{a_3})^2 = \overrightarrow{b}^2 + 2\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{a_3} + \overrightarrow{a_3}^2 +\overrightarrow{b}^2-2\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{a_3} +\overrightarrow{a_3}^2 = 2|b|^2+2 \geq 2 \cdot 3+2= 8.<br />
\]

Wobec tego jedna z liczb $ (\overrightarrow{a_1}+ \varepsilon_2 \overrightarrow{a_2} +\overrightarrow{a_3})^2 $, $ (\overrightarrow{a_1}+ \varepsilon_2 \overrightarrow{a_2} -\overrightarrow{a_3})^2 $ nie jest mniejsza od $ 4 $. Przyjmujemy $ \varepsilon_3 $ tak, by $ (a_1+ \varepsilon_2 a_2 +\varepsilon_3 a_3)^2 \geq 4 $. Wówczas $ |a_1 + \varepsilon_2 a_2+\varepsilon_3a_3| \geq 2 $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź