XXXIV OM - III - Zadanie 6

Wykazać, że jeśli wszystkie kąty dwuścienne czworościanu są ostre, to wszystkie jego ściany są trójkątami ostrokątnymi.

Rozwiązanie

Każdej ścianie przyporządkowujemy wektor jednostkowy prostopadły do niej i skierowany na zewnątrz czworościanu. Rozważmy dwie ściany tworzące kąt $ \alpha $. Wektory przyporządkowane tym ścianom tworzą kąt $ \pi - \alpha $ (rys. 12). Wobec tego na to, by wszystkie kąty dwuścienne czworościanu były ostre, potrzeba i wystarcza, by kąty między każdą parą spośród wektorów $ \overrightarrow{a} $, $ \overrightarrow{b} $, $ \overrightarrow{c} $, $ \overrightarrow{d} $ przyporządkowanych poszczególnym ścianom były rozwarte, a więc by

\[<br />
\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} < 0,<br />
\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c} < 0,<br />
\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{d} < 0,<br />
\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} < 0,<br />
\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{d} < 0,<br />
\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{d} < 0.<br />
\]

om34_3r_img_12.jpg
om34_3r_img_13.jpg
Załóżmy, że spełnione są powyższe nierówności. Udowodnimy, że każdy kąt płaski czworościanu jest ostry. Rozważmy kąt $ ABC $. Wektor $ \overrightarrow{a} $ przyporządkowany ścianie $ BCD $ jest prostopadły do prostej $ BC $. Wobec tego rzut $ \overrightarrow{a}_{ABC} $ wektora $ \overrightarrow{a} $ na płaszczyznę $ ABC $ też jest prostopadły do prostej $ BC $. Podobnie wektor $ \overrightarrow{c} $ przyporządkowany ścianie $ ABD $ jest prostopadły do prostej $ AB $, więc jego rzut $ \overrightarrow{c}_{ABC} $ na płaszczyznę $ ABC $ jest prostopadły do $ AB $. Wynika stąd, że

\[<br />
\measuredangle (\overrightarrow{a}_{ABC} \cdot \overrightarrow{c}_{ABC} )= \pi - \measuredangle ABC.<br />
\]

Wobec tego kąt $ ABC $ jest ostry wtedy i tylko wtedy, gdy $ \overrightarrow{a}_{ABC} \cdot \overrightarrow{c}_{ABC} < 0 $.
om34_3r_img_14.jpg
Wektory $ \overrightarrow{a} $, $ \overrightarrow{b} $, $ \overrightarrow{c} $, $ \overrightarrow{d} $ mają długość $ 1 $, wobec tego (rys. 14)

\[<br />
\overrightarrow{a}_{ABC} = \overrightarrow{a} - (\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{d} ) \cdot \overrightarrow{d},\<br />
\overrightarrow{c}_{ABC} = \overrightarrow{c} - (\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{d} ) \cdot \overrightarrow{d}.<br />
\]

Stąd

\[<br />
\begin{split}<br />
&\overrightarrow{a}_{ABC} \cdot \overrightarrow{c}_{ABC} =<br />
(\overrightarrow{a} - (\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{d} ) \cdot \overrightarrow{d}) \cdot<br />
(\overrightarrow{c} - (\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{d} ) \cdot \overrightarrow{d}) =\\<br />
&\qquad =\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c} -<br />
(\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{d})(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{d}) -<br />
(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{d})(\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{d}) -<br />
+(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{d})(\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{d})(\overrightarrow{d} \cdot \overrightarrow{d})=\\<br />
&\qquad =\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c} -<br />
(\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{d})(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{d}) -<br />
(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{d})(\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{d})<br />
+(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{d})(\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{d}) \cdot 1=\\<br />
&\qquad =\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c} -<br />
(\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{d})(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{d}) < 0,<br />
\end{split}<br />
\]

bo każdy z występujących tu iloczynów skalarnych jest ujemny. Wykazaliśmy więc, że kąt $ ABC $ jest ostry. Dla pozostałych kątów płaskich dowód jest analogiczny.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź