XXXIII OM - I - Zadanie 1

Dwudziestopięciokąt foremny $ A_1,A_2, \ldots, A_{25} $ wpisany jest w okrąg o środku $ O $ i promieniu długości $ r $. Jaka jest maksymalna długość wektora będącego sumą pewnych spośród wektorów $ \overrightarrow{OA_1}, \overrightarrow{OA_2}, \ldots, \overrightarrow{OA_{25}} $?

Rozwiązanie

Rozważmy pewien podzbiór $ X $ zbioru danych wektorów, dla którego
wektor $ \overrightarrow{a} $ będzie równy sumie wszystkich wektorów podzbioru $ X $. Jeżeli wektor $ \overrightarrow{OA_i} $ nie należy do $ X $ oraz tworzy z wektorem $ \overrightarrow{a} $ kąt ostry, to suma wszystkich wektorów zbioru $ X $ oraz wektora $ \overrightarrow{OA_i} $ ma długość większą od $ a $. Zakładając, że $ \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{a} $, to $ \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{OA_i} $ oraz $ \overrightarrow{OC}^2 = \overrightarrow{OA_i}^2 + \overrightarrow{A_iC}^2- 2OA_i A_i C \cos| \measuredangle OA_iC| > OA_i^2 + A_iC^2 $ (bo kąt $ OA_1C $ jest rozwarty). Stąd wynika, że $ OC_i^2 > a^2 $, to jest $ OC > a $.
om33_1r_img_1.jpg
Z drugiej strony ponieważ suma wszystkich danych wektorów $ \overrightarrow{OA_1} + \ldots + \overrightarrow{OA_{25}} $ jest wektorem zerowym, więc suma wektorów każdego ustalonego podzbioru $ \{\overrightarrow{OA_{i_2}}, \ldots, \overrightarrow{OA_{i_k}}\} $ jest wektorem przeciwnym do sumy pozostałych $ 25-k $ wektorów, a zatem obie te sumy są wektorami równej długości. Wynika stąd, że sumę o maksymalnej długości możemy otrzymać dodając nie więcej niż $ 12 $ wektorów. Pokażemy, że taką maksymalną sumę otrzymamy dodając $ 12 $ kolejnych wektorów. Niech wektor $ \overrightarrow{a} = \overrightarrow{OB} $ oznacza sumę wektorów wybranego podzbioru $ X $. Nie zmniejszając ogólności możemy założyć, że punkt $ B $ należy do kąta $ A_6OA_7 $. Gdyby więc któryś z wektorów $ \overrightarrow{OA_i} $ dla $ i = 1,2,\ldots,12 $ nie należał do $ X $, to na mocy początkowej uwagi dodając ten wektor do $ X $ otrzymalibyśmy taki podzbiór wektorów, że ich suma byłaby dłuższa od $ a $. Ostatecznie więc maksymalną długość ma suma kolejnych $ 12 $ wektorów (suma kolejnych $ 13 $ wektorów ma tę samą długość). Wygodniej będzie obliczyć długość sumy kolejnych $ 13 $ wektorów. Ponieważ kolejne wektory tworzą kąt o mierze $ \frac{2\pi}{25} $, więc suma długości takich $ 13 $ wektorów $ \{\overrightarrow{OA_1}, \ldots, \overrightarrow{OA_{13}}\} $ równa jest sumie długości rzutów tych wektorów na półprostą $ OA_7 $. Wynosi ona

\[<br />
(*) \qquad<br />
 r \left| 1 + 2 \cos \frac{2\pi}{25} + 2 \cos \frac{4\pi}{25} + 2 \cos \frac{6\pi}{25} + 2 \cos \frac{8\pi}{25} + 2 \cos \frac{10\pi}{25} + 2<br />
\cos \frac{12\pi}{25} \right|,<br />
\]

gdyż wektory $ \overrightarrow{OA_1} $ i $ \overrightarrow{OA_{13}} $ tworzą z $ \overrightarrow{OA_7} $ kąt o mierze $ 6 \cdot \frac{2\pi}{25} $, wektory $ \overrightarrow{OA_1} $ i $ \overrightarrow{OA_{13}} $ tworzą z $ \overrightarrow{OA_7} $ kąty o mierze $ 5 \cdot \frac{2\pi}{25} , \ldots, $ wektory $ \overrightarrow{OA_6} $ i $ \overrightarrow{OA_{8}} $ tworzą z $ \overrightarrow{OA_7} $ kąty o mierze $ \frac{2\pi}{25} $.

Dla obliczenia wartości (*) zastosujemy liczby zespolone. Liczba

\[<br />
1 + \cos \frac{2\pi}{25} + \cos \frac{4\pi}{25} + \cos \frac{6\pi}{25} + \cos \frac{8\pi}{25} + \cos \frac{10\pi}{25} + \cos \frac{12\pi}{25}<br />
\]

jest częścią rzeczywistą liczby zespolonej

\[<br />
t=1 + \left( \cos \frac{2\pi}{25} + i \sin \frac{2\pi}{25} \right) +<br />
\left( \cos \frac{4\pi}{25} + i \sin \frac{4\pi}{25} \right) + \ldots +<br />
\left( \cos \frac{12\pi}{25} + i \sin \frac{12\pi}{25} \right).<br />
\]

Przyjmując $ z = \cos \frac{2\pi}{25} + i \sin \frac{2\pi}{25} $ mamy na mocy wzoru de Moivre'a

\[<br />
\cos \frac{k2\pi}{25} + i \sin \frac{k2\pi}{25}=<br />
\left( \cos \frac{2\pi}{25} + i \sin \frac{2\pi}{25} \right)^k = z^k.<br />
\]

Wynika stąd, że

\[<br />
t = 1 + z + z^2+ \ldots + z^6 = \frac{1-z^7}{1-z},<br />
\]

więc

\[<br />
t = \frac{1-\left( \cos \frac{2\pi}{25} + i \sin \frac{2\pi}{25} \right)^7}{1-\left( \cos \frac{2\pi}{25} + i \sin \frac{2\pi}{25} \right)}=<br />
\frac{1 - \cos \frac{14\pi}{25} - i \sin \frac{14 \pi}{25} }{1- \cos \frac{2\pi}{25} - i \sin \frac{2\pi}{25} },<br />
\]
\[<br />
\begin{split}<br />
t&=\frac{\left( 1- \cos \frac{14\pi}{25} - i \sin \frac{14\pi}{25} \right) \left( 1- \cos \frac{2\pi}{25} + i \sin \frac{2\pi}{25} \right) }{\left( 1- \cos \frac{2\pi}{25} \right)^2 +\left( \sin \frac{2\pi}{25} \right)^2}=\\<br />
&=\frac{ 1- \cos \frac{2\pi}{25} -\cos \frac{14\pi}{25}+\cos \frac{2\pi}{25}\cos \frac{14\pi}{25}+  \sin \frac{14\pi}{25} \sin \frac{2\pi}{25}}{1- 2\cos \frac{2\pi}{25} +\cos^2 \frac{2\pi}{25}  + \sin^2 \frac{2\pi}{25}}+\\<br />
&+ i \frac{\left( 1- \cos \frac{14\pi}{25} \right) \sin \frac{2\pi}{25}- \sin \frac{14\pi}{25} \left(1 - \cos \frac{2\pi}{25} \right)}{1-2 \cos \frac{2\pi}{25} +\cos^2 \frac{2\pi}{25}  + \sin^2 \frac{2\pi}{25}}.<br />
\end{split}<br />
\]

Interesująca nas część rzeczywista tej liczby wynosi

\[<br />
\begin{split}<br />
Re t =<br />
\frac{ 1- \cos \frac{2\pi}{25} -\cos \frac{14\pi}{25}+\cos \frac{2\pi}{25}\cos \frac{14\pi}{25}+  \sin \frac{14\pi}{25} \sin \frac{2\pi}{25}}{2- 2\cos \frac{2\pi}{25}}=\\<br />
=\frac{ 1- \cos \frac{2\pi}{25} -\cos \frac{14\pi}{25}+\cos \frac{12\pi}{25}}{2- 2\cos \frac{2\pi}{25}}=<br />
\frac{ 1- \cos \frac{2\pi}{25} +2\sin \frac{13\pi}{25}\sin \frac{\pi}{25}}{2- 2\cos \frac{2\pi}{25}}.<br />
\end{split}<br />
\]

Obliczyliśmy więc, że

\[<br />
1 + \cos \frac{2\pi}{25} + \cos \frac{4\pi}{25} + \ldots + \cos \frac{12\pi}{25}=<br />
\frac{ 1- \cos \frac{2\pi}{25} +2\sin \frac{13\pi}{25}\sin \frac{\pi}{25}}{2- 2\cos \frac{2\pi}{25}}.<br />
\]

Wobec tego

\[<br />
\begin{split}<br />
1 + 2\cos \frac{2\pi}{25} + 2\cos \frac{4\pi}{25} + \ldots + 2 \cos \frac{12\pi}{25}=\\<br />
=\frac{ 1- \cos \frac{2\pi}{25} +2\sin \frac{13\pi}{25}\sin \frac{\pi}{25}}{1- \cos \frac{2\pi}{25}}-1 =<br />
\frac{2\sin \frac{13\pi}{25}\sin \frac{\pi}{25}}{1- \cos \frac{2\pi}{25}}=\\<br />
=\frac{2\sin \frac{13\pi}{25}\sin \frac{\pi}{25}}{1- \left( 1 - 2 \sin^2 \frac{\pi}{25} \right) }=<br />
\frac{2\sin \frac{13\pi}{25}\sin \frac{\pi}{25}}{2\sin^2 \frac{\pi}{25}}=<br />
\frac{\sin \frac{13\pi}{25}}{\sin \frac{\pi}{25}}.<br />
\end{split}<br />
\]

Ostatecznie więc maksymalna długość wektora będącego sumą pewnych spośród wektorów $ \overrightarrow{OA_1}, \ldots, \overrightarrow{OA_{25}} $ wynosi

\[<br />
r= \frac{\sin \frac{13\pi}{25}}{\sin \frac{\pi}{25}}.<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź