I OM - B - Zadanie 3

Ktoś ma wagę dwuramienną nierzetelną (tzn. wagę,
której ramiona są nierówne). Chcąc odważyć 2 kg cukru postępuje
w sposób następujący: kładzie ciężarek 1 kg na lewej szalce wagi,
a na prawą szalkę sypie cukier aż do zrównoważenia; następnie:
opróżniwszy obie szalki kładzie ciężarek 1 kg na prawej szalce, a na
lewą sypie cukier aż do zrównoważenia. Czy odważone w ten sposób dwie
ilości cukru stanowią razem mniej, czy więcej, czy też dokładnie
2 kg?

Rozwiązanie

Oznaczmy ilość kilogramów cukru odważonego za pierwszym
razem przez $ x $, a za drugim razem przez $ y $. Długości ramion
wagi niech będą $ p $ i $ q $, przy czym $ p \neq q $.

Według prawa dźwigni (rys. l) mamy:

\[<br />
\begin{split}<br />
q \cdot x = p \cdot 1  &\text{ skąd } x =\frac{p}{q} \\<br />
q \cdot x = p \cdot 1  &\text{ skąd } x =\frac{p}{q}<br />
\end{split}<br />
\]

Zatem

\[<br />
x+y = \frac{p}{q} + \frac{q}{p} = \frac{p^2+q^2}{pq} > 2,<br />
\]

ponieważ

\[<br />
\frac{p^2+q^2}{pq}-2 = \frac{p^2+q^2-2pa}{pq} = \frac{(p-q)^2}{pq} > 0,<br />
\text{ gdy }p \neq q.<br />
\]

Odpowiedź: Odważono razem więcej niż 2 kg cukru.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź