XXXIII OM - I - Zadanie 2

Niech $ p $ będzie ustaloną liczbą pierwszą. Udowodnić, że liczba

\[<br />
\underbrace{11\ldots 1}\underbrace{22\ldots 2}\ldots \underbrace{99\ldots 9} - 123456789<br />
\]

dzieli się przez $ p $.

Rozwiązanie

Rozważana liczba $ N = 11 \ldots 122 \ldots 2 \ldots 99 \ldots 9 - 123456789 $ jest różnicą dwóch liczb, których ostatnimi cyframi są dziewiątki, zatem ostatnią cyfrą liczby $ N $ jest zero, liczba ta dzieli się więc przez $ 2 $ oraz przez $ 5 $, a więc teza jest prawdziwa dla $ p = 2 $ oraz dla $ p = 5 $. Dla $ p = 3 $ możemy zastosować znaną cechę podzielności liczb całkowitych przez $ 3 $. Liczba $ 1 + 2 + \ldots + 9 = 45 $ jest podzielna przez $ 3 $, więc w liczbie $ 11 \ldots 122 \ldots 2 \ldots 99 \ldots 9 $ i w liczbie $ 123456789 $ suma cyfr dzieli się przez $ 3 $, zatem obie te liczby są podzielne przez $ 3 $. Stąd wynika, że obie te liczby są podzielne przez $ 3 $. Liczba $ N $ jako ich różnica jest podzielna przez $ 3 $.

W dalszym rozumowaniu ograniczymy się do przypadku, gdy $ p $ jest liczbą pierwszą różną od $ 2 $, $ 3 $, $ 5 $. Ponieważ $ 11 \ldots 1 = 1 +10+...+ 10^{p-1}= \frac{10^p - 1}{10-1} = \frac{1}{9}(10^p-1) $, więc daną liczbę $ N $ można zapisać w postaci

\[<br />
\begin{split}<br />
N &= 11 \ldots 1 \cdot (10^{8p} + 2 10^{7p} + \ldots + 8 \cdot 10^p + 9) - (10^8 + 2 \cdot 10^7 + \ldots +8 \cdot 10 + 9) =\\<br />
&= \frac{1}{9} (10^p-1) \cdot \sum_{k=1}^9 k 10^{(9-k)p} - \sum_{k=1}^9 k 10^{(9-k)}=\\<br />
&= \sum_{k=1}^9 k 10^{(9-k)} \left[ \frac{1}{9} (10^p-1)(10^{9-k})^{p-1} -1 \right]=\\<br />
&= \sum_{k=1}^9 k 10^{(9-k)} \frac{1}{9} \left[  10^p(10^{9-k})^{p-1} -(10^{9-k})^{p-1}-9 \right]=\\<br />
&= \frac{1}{9} \sum_{k=1}^9 k 10^{(9-k)} \{ 10 \cdot \left[  10^{p-1} (10^{9-k})^{p-1} -1 \right] - [(10^{9-k})^{p-1}-1 ] \}.<br />
\end{split}<br />
\]

Na podstawie twierdzenia Fermata (zob. zadanie przygotowawcze A) stwierdzamy, że następujące liczby

\[<br />
lO^{p-1} (10^{9-k})^{p-1} - 1 = (10^{10-k})^{p-1}- 1,<br />
\]
\[<br />
(10^{9-k})^{p-1} - 1<br />
\]

są podzielne przez $ p $ (istotnie jest tu założenie, że $ p \ne 2 $ oraz $ p \ne 5 $, bo z niego wynika, że $ 10^{10-k} $ oraz $ 10^{9-k} $ są liczbami niepodzielnymi przez $ p $). Wobec tego liczba występująca w nawiasie klamrowym dzieli się przez $ p $, a zatem cała suma w wypisanym wyżej wzorze dzieli się przez $ p $. Ponieważ $ p \ne 3 $, więc po podzieleniu tej sumy przez $ 9 $ otrzymamy w dalszym ciągu liczbę podzielną przez $ p $. Udowodniliśmy w ten sposób, że liczba $ N $ dzieli się przez $ p $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź