XXXIII OM - I - Zadanie 3

Obliczyć granicę

\[<br />
\lim_{n\to \infty} a_5a_6\ldots a_n,<br />
\]

gdzie

\[<br />
a_k = \frac{k^4-17k^2+16}{k^4-8k^2+16}.<br />
\]

Rozwiązanie

Rozkładając licznik i mianownik na czynniki otrzymujemy

\[<br />
a_k = \dfrac{(k-4)(k-1)(k+1)(k+4)}{(k-2)^2(k+2)^2}.<br />
\]

Wobec tego w iloczynie

\[<br />
a_5a_6 \ldots a_n<br />
\]

każda liczba $ m $ spełniająca nierówność $ 9 \leq m \leq n - 4 $ występuje dokładnie cztery razy w liczniku i cztery razy w mianowniku, na przykład liczba $ 10 $ występuje w liczniku w czynnikach $ a_6 =\dfrac{2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 10}{4^2 \cdot 8^2} $, $ a_9=\dfrac{5 \cdot 8 \cdot 10 \cdot 13}{7^2 \cdot 11^2} $, $ a_{11} = \dfrac{7 \cdot 10 \cdot 12 \cdot 15}{9^2 \cdot 13^2} $, $ a_{14} = \dfrac{10 \cdot 13 \cdot 15 \cdot 18}{12^2 \cdot 16^2} $, natomiast w mianowniku w czynnikach $ a_8=\dfrac{4 \cdot 7 \cdot 9 \cdot 12}{6^2 \cdot 10^2} $ i $ a_{12} = \dfrac{8 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 16}{10^2 \cdot 14^2} $. Natomiast llczba $ 2 $ występuje w iloczynie $ a_5a_6 \ldots a_n $ tylko raz w liczniku $ \left(\textrm{w}\ a_6=\dfrac{2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 10}{4^2 \cdot 9^2}  \right) $, liczba $ 3 $ występuje jednokrotnie w liczniku (w $ a_7 = \dfrac{3 \cdot 6 \cdot 8 \cdot 11}{5^2 \cdot 9^2} $, dwukrotnie w mianowniku (w $ a_5 = \dfrac{1 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 9}{3^2 \cdot 7^2} $), liczba $ 4 $ dwukrotnie w liczniku i dwukrotnie w mianowniku, liczba $ 5 $ dwukrotnie w liczniku i dwukrotnie w mianowniku, liczba $ 6 $ trzykrotnie w liczniku, a dwukrotnie w mianowniku, liczby $ 7 $ i $ 8 $ trzykrotnie w liczniku, a czterokrotnie w mianowniku. Ponadro w iloczynie $ a_5a_6 \ldots a_n $ liczby $ n - 3 $ i $ n - 2 $ występują trzykrotnie w liczniku i czterokrotnie w mianowniku, liczba $ n - 1 $ występuje trzykrotnie w liczniku a dwukrotnie w mianowniku, liczby $ n $ i $ n + 1 $ występują dwukrotnie w liczniku i dwukrotnie w mianowniku, liczba $ n + 2 $ występuje jednokrotnie w liczniku a dwukrotnie w mianowniku, liczby $ n + 3 $ i $ n + 4 $ występują jednokrotnie w liczniku, nie występują w mianowniku. Wobec tego po uproszczeniu, wszystkich czynników występujących w liczniku i w mianowniku otrzymujemy

\[<br />
a_5a_6 \ldots a_n = \dfrac{2 \cdot 6 \cdot (n+1) \cdot (n+3) \cdot (n+4)}{3 \cdot 7 \cdot 8 \cdot (n-3) \cdot (n-2) \cdot (n+2)}.<br />
\]

Granicą tego ciągu jest liczba $ \dfrac{1}{14} $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź