XXXIII OM - I - Zadanie 6

Dowieść, że dla każdej liczby rzeczywistej $ x $ i każdej liczby naturalnej $ n $ zachodzi nierówność

\[<br />
|\cos x| + |\cos 2x| + |\cos 4x| + \ldots + |\cos 2^n x| \geq \frac{n}{2}.<br />
\]

Rozwiązanie

Ponieważ $ \cos 2t = 2 \cos^2 t - 1 $, więc z założenia $ |\cos  2^{k} x| < \frac{1}{2} $ wynika, że

\[<br />
\begin{split}<br />
|\cos 2^kx| + |\cos 2^{k+1}x| = |\cos  2^{k} x| + |2(\cos  2^{k} x)^2 - 1| =\\<br />
= |\cos 2^kx| + 1 - 2|\cos 2^kx|^2 = 1 + 2| \cos  2^{k} x| (\frac{1}{2}-|\cos  2^{k} x|) > 1.<br />
\end{split}<br />
\]

Niech $ k_1, k_2, \ldots, k_r $ ($ 1 \leq k_1 < k_2 < \ldots < k_r \leq n $) będą wszystkimi tymi wykładnikami, dla których $ |\cos 2^{k} x| < \frac{1}{2} $. Wykładniki $ k_i $, $ k_i + 1 $ nie mogą dla żadnego $ i $ być kolejnymi liczbami naturalnymi, gdyż

\[<br />
|\cos 2^{k_i} x| + |\cos 2^{k_i+1}x| \geq 1.<br />
\]

Rozpatrzmy dwa przypadki.

1. Jeśli $ k_r < n $, to

\[<br />
\sum_{k=0}^r |\cos 2^{k_j} x| + |\cos 2^{k_j + 1}x| \geq r,<br />
\]

a każdy z pozostałych $ n + 1 - 2r $ składników sumy $ |\cos x| + |\cos 2x| + \ldots + |\cos 2^nx| $ jest większy od $ \frac{1}{2} $, więc

\[<br />
\sum_{k=0}^n |\cos 2^{k} x| \geq r + (n + 1 - 2r) \cdot \frac{1}{2} = \frac{n+1}{2} > \frac{n}{2}.<br />
\]

2. Jeśli $ k_r=n $ to

\[<br />
\sum_{n=1}^{r-1} (|\cos 2^{k_j} x| + |\cos 2^{k_j + 1}x|) \geq r-1,<br />
\]

a każdy z pozostałych $ n - (2r-2) $ składników sumy $ |\cos x| + |\cos 2x| + \ldots + |\cos 2^{n-1}x| $ jest większy od $ \frac{1}{2} $, więc

\[<br />
|\cos c| + |\cos 2x| + \ldots + |\cos 2^nx| \geq r - 1 + \frac{1}{2} (n + 2 - 2r) = \frac{n}{2}.<br />
\]

W każdym przypadku zachodzi więc podana nierówność.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź