XXXIII OM - I - Zadanie 8

Dane są liczby naturalne $ l, m, p, q, n $ spełniające warunki: $ \frac{l}{m} < \frac{p}{q} $ i $ m, q $ są względnie pierwsze. Udowodnić równoważność następujących warunków.
(1) Istnieje taka liczba naturalna $ k $, że

\[<br />
\frac{l}{m} < \frac{k}{n} < \frac{p}{q}.<br />
\]

(2) Istnieją takie liczby naturalne $ r, s $, że ,

\[<br />
n=\frac{rm+sq}{pm-lq}<br />
\]

Rozwiązanie

Załóżmy, że spełniony jest warunek (1). Ponieważ zachodzi nierówność $ \frac{l}{m} < \frac{k}{n} $, to $ ln<km $. Mamy przy pewnym naturalnym $ s $ równość $ km =ln+s $. Możemy napisać.

\[<br />
\nr{i} \frac{k}{n} = \frac{km}{mn} = \frac{ln+s}{mn} = \frac{ln}{mn}+\frac{s}{mn} = \frac{l}{m}+\frac{s}{mn}.<br />
\]

Analogicznie z nierówności $ \frac{k}{n} < \frac{p}{q} $ wynika, że $ kq <pn $. Istnieje liczba naturalna $ r $, dla której $ kq = pn - r $. Zachodzą więc nierówności

\[<br />
\nr{ii}<br />
\frac{k}{n} = \frac{kq}{nq} = \frac{pn-r}{nq} = \frac{pn}{nq}-\frac{r}{nq} = \frac{p}{q}-\frac{r}{nq}.<br />
\]

Z równości (i) i (ii) wynika

\[<br />
\frac{ln}{mn}+\frac{s}{mn} = \frac{pn}{nq}-\frac{r}{nq} ,<br />
\]
\[<br />
lnq + sq = pnm - rm,<br />
\]
\[<br />
lnq - pnm = -rm - sq,<br />
\]
\[<br />
n(lq - pm) = -rm - sq,<br />
\]
\[<br />
n = \frac{rm+sq}{pm-lq}.<br />
\]

Wykazaliśmy więc, że spełniony jest warunek (2).

Załóżmy teraz, że istnieją $ r $, $ s $ naturalne, dla których

\[<br />
n = \frac{rm+sq}{pm-lq}.<br />
\]

Szukamy liczby naturalnej $ k $, dla której zachodzi następująca równość

\[<br />
\frac{k}{n} = \frac{ln}{mn} + \frac{s}{mn}<br />
\]

(z powyższych rachunków wynika, że wtedy będzie również $ \frac{k}{n} = \frac{pn}{qn} - \frac{r}{qn} $).

Dla liczby $ k $ musi zachodzić równość

\[<br />
k = \frac{ln}{m} + \frac{s}{m}.<br />
\]

Stąd otrzymujemy

\[<br />
k = \frac{\frac{rm+sq}{pm-lq}l+s}{m},<br />
\]
\[<br />
k = \frac{rml+sql+spm-slq}{m(pm-lq)},<br />
\]
\[<br />
k = \frac{rl+sp}{pm-lq}.<br />
\]

Wystarczy wykazać, że liczba $ k $ określona tym wzorem jest liczbą całkowitą.

Ponieważ $ n = \frac{rm+sq}{pm-lq} $ jest liczbą całkowitą, więc

\[<br />
pm - lq \mid rm + sq.<br />
\]

Wobec tego, jeśli $ t $ jest liczbą pierwszą i

\[<br />
t^a \mid pm - lq,\ \textrm{to} \ t^a \mid rm + sq.<br />
\]

Mamy dla odpowiednich $ a $, $ b $ równości

\[<br />
(*) \qquad pm - lq = at^a,\ rm + sq = bt^a.<br />
\]

Otrzymamy następujące wyrażenia odejmując od pierwszego z równań (*) pomnożonego przez $ r $ drugie pomnożone przez $ p $:

\[<br />
rpm - rlg - prm - psq = rat^a - pbt^a,<br />
\]
\[<br />
-rlq - psq = rat^a - pbt^a,<br />
\]
\[<br />
(sp + rl)q = (pb - ra)t^a.<br />
\]

Stąd wynika, że $ t^a \mid (sp + rl)q $.

Gdyby było $ t \mid q $, to z równań (*) wynikałoby, że $ t \mid m $. Prowadzi to do sprzeczności z założeniem, że liczby $ q $, $ m $ są względnie pierwsze. Wobec tego $ t^a\mid sp + rl $. Zatem istotnie każdy dzielnik pierwszy mianownika ułamka $ \displaystyle \frac{rl+sp}{pm-lq} $ dzieli licznik tego ułamka w co najmniej takiej potędze, w jakiej dzieli mianownik. Wynika stąd, że $ \displaystyle k =\frac{rl+sp}{pm-lq} $ jest liczbą całkowitą.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź