XXXIII OM - I - Zadanie 10

W trójkącie $ ABC $ punkty $ A', B', C' $ są odpowiednio środkami boków $ \overline{BC}, \overline{CA}, \overline{AB} $, $ H $ jest punktem przecięcia wysokości trójkąta. Okrąg o środku $ H $ przecina prosta $ B'C', C'A', A'B' $ odpowiednio w punktach $ D_1 $ i $ D_2 $, $ E_1 $ i $ E_2 $, $ F_1 $ i $ F_2 $. Udowodnić, że długości odcinków $ \overline{AD_1}, \overline{AD_2}, \overline{BE_1}, \overline{BE_2}, \overline{CF_1}, \overline{CF_2} $ są równe.

Rozwiązanie

Prosta $ B'C' $ jest równoległa do $ BC $, jest więc prostopadła do prostej $ AH $ zawierającej wysokość $ \overline{h_a} = \overline{AA_1} $ opuszczoną na bok $ \overline{BC} $. Prosta $ AH $ jest więc symetralną cięciwy $ \overline{D_1D_2} $. Odcinki $ \overline{AD_1} $ i $ \overline{AD_2} $ mają równe długości. Analogicznie stwierdzamy, że $ BE_1 = BE_2 $ oraz $ CF_1 = CF_2 $, bo proste $ A'B' $ i $ C'A' $ są odpowiednio prostopadłe do prostych zawierających wysokości $ \overline{h_c} = \overline{CC_1} $ i $ \overline{h_b} = \overline{BB_1} $.

Wykażemy, że $ AD_1 = BE_1 $. Prosta łącząca środki dwóch boków trójkąta przecina wysokość opuszczoną na trzeci bok w jej środku. Wobec tego jeśli
$ K $ jest punktem przecięcia prostych $ AH $ i $ D_1D_2 $, to $ AK = \frac{h_a}{2} $ twierdzenia Pitagorasa zastosowanego do trójkątów $ AKD_1 $ i $ D_1HK $, otrzymamy
om33_1r_img_4.jpg

\[<br />
\begin{split}<br />
AD^2 = & \left( \frac{h_a}{2} \right)^2 + D_1K^2 = \left( \frac{h_a}{2} \right)^2+ r^2 - \left( AH - \frac{h_a}{2} \right)^2 =\\<br />
& = \left( \frac{h_a}{2} \right)^2 + r^2 - AH^2 + AHh_a- \left( \frac{h_a}{2} \right)^2= r^2 - AH^2 + AH h_a=\\<br />
& = r^2 + AH (h_a - AH).<br />
\end{split}<br />
\]

Analogicznie obliczamy

\[<br />
BE_1^2 = r^2 + BH(h_b - BH).<br />
\]

Trójkąty $ AB_1H $ i $ BA_1H $ są podobne, gdyż są prostokątne, a ich kąty przy wierzchołku $ H $ są przystające (kąty wierzchołkowe). Wynika stąd, że

\[<br />
\frac{AH}{BH} = \frac{h_b - BH}{h_a-AH},<br />
\]

więc

\[<br />
AH(h_a - AH) = BH(h_b - BH).<br />
\]

Otrzymaliśmy stąd, że

\[<br />
AD_1 = BE_1.<br />
\]

Teza

\[<br />
AD_1 = AD_2 = BE_1 = BE_2 = CF_1 = CF_2<br />
\]

jest wnioskiem z poprzednio otrzymanych wyników i równości $ AD_1 = CF_1 $, której dowód jest analogiczny do dowodu, że $ AD_1 = BE_1 $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź