XXXIII OM - I - Zadanie 11

Liczby rzeczywiste $ u, v, w $ są pierwiastkami równania $ x^3 + qx + r = 0 $, gdzie $ r \neq 0 $. Wyrazić pierwiastki równania $ r^2x^3 + q^3x + q^3 = 0 $ w zależności od $ u, v, w $ i wykazać, że nie ma ono pierwiastków w przedziale $ (-1, 3) $.

Rozwiązanie

Na podstawie wzorów Viete'a jest

\[<br />
u + v + w = 0,<br />
\]
\[<br />
uv + uw + vw = q,<br />
\]
\[<br />
uvw = -r.<br />
\]

Przypuśćmy, że pierwiastkami równania $ r^2x^3 + q^3x + q^3 = 0 $ są liczby
$ x_1 = \frac{q}{r}a $, $ x_2 = \frac{q}{r}b $, $ x_3 = \frac{q}{r}c $. Wobec tego

\[<br />
x_1 + x_2 + x_3 = \frac{q}{r} (a + b + c) = 0<br />
\]
\[<br />
x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = \frac{q^2}{r^2}(ab + ac + bc) = \frac{q^2}{r^2}<br />
\]
\[<br />
x_1x_2x_3 = \frac{q^3}{r^3} (abc) = - \frac{q^3}{r^2},<br />
\]

więc

\[<br />
a + b + c = 0,<br />
\]
\[<br />
ab + ac + bc = q,<br />
\]
\[<br />
abc = -r.<br />
\]

Wynika stąd, że (po ewentualnej zmianie porządku) $ a = u $, $ b = v $, $ c = w $.
Wobec tego pierwiastkami równania $ r^2x^3 + q^3x + q^3 = 0 $

\[<br />
\begin{split}<br />
x_1 = \frac{q}{r}u = \frac{uv + uw + vw}{-uvw}u =<br />
- \frac{uv + uw + vw}{vw} = - 1 - \frac{u(v + w)}{vw} = \\<br />
=-1- \frac{u(-u)}{vw} = \frac{u^2}{vw} -1,<br />
\end{split}<br />
\]

oraz analogicznie obliczone

\[<br />
x_2=\frac{v^2}{uw} -1,<br />
\]
\[<br />
x_3=\frac{w^2}{uv} -1.<br />
\]

Dla każdego $ i = 1, 2, 3 $ warunki $ x_i \not \in [-1, 3] $ oraz $ |x_i -1| >\geq 2 $ są równoważne. Żaden z tych pierwiastków nie należy do przedziału $ (-1,3) $, gdy $ x_i- 1 \geq 2 $.

Pokażemy to dla $ x_1 $ (dla pozostałych pierwiastków dowody są analogiczne).

\[<br />
|x_1-1|= \left| \frac{u^2}{vw} - 1- 1 \right| = \left| \frac{(v+w)^2}{vw} -2 \right| = \left| \frac{v^2+w^2}{vw}\right| \geq 2.<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź