I OM - B - Zadanie 4

Znaleźć dwie liczby naturalne $ a $ i $ b $ mając ich największy wspólny podzielnik
$ D=12 $ oraz najmniejszą wspólną wielokrotność $ M=432 $. Podać sposób poszukiwania
rozwiązań w przypadku ogólnym.

Rozwiązanie

Jeśli największym wspólnym podzielnikiem liczb $ a $ i $ b $ jest 12, to

\[<br /> a=12x,\quad b=12y,<br /> \]

przy czym liczby $ x $ i $ y $ są pierwsze względem siebie. W takim razie najmniejszą
wspólną wielokrotnością liczb $ 12x $ i $ 12y $ jest $ 12xy $, wobec czego

\[<br /> 12xy = 432,\quad \text{czyli } xy=36.<br /> \]

Liczby $ x $ i $ y $ znajdziemy rozkładając 36 na iloczyn dwóch czynników pierwszych względem siebie.
Istnieją dwa takle rozkłady:

\[<br /> 36=1\cdot 36 \quad \text{i} \quad 36= 4\cdot 9.<br /> \]

Otrzymujemy dwa rozwiązania

\[<br /> x=1, y=36 \quad \text{albo} \quad x=4, y=9.<br /> \]

Szukanymi liczbami są

\[<br /> 12\cdot 1 =12 \text{ i } 12\cdot 36 =432 \text{ albo }<br /> 12\cdot 4 = 48 \text{ i } 12\cdot 9 = 108.<br /> \]

W przypadku ogólnym, gdy największym wspólnym podzielnikiem liczb
$ a $ i $ b $ jest $ D $, a najmniejszą wspólną wlelokrotnością jest
$ M $, rozumujemy tak samo i otrzymujemy równania:

\[<br /> a=Dx,\; b=Dy, \quad(\text{$x$ i $y$ - pierwsze względem siebie}),<br /> \]

a stąd

\[<br /> Dxy = M,\text{ i } xy=\frac{M}{D}<br /> \]

Zadanie ma tyle rozwiązań, iloma sposobami można liczbę
naturalną \frac{M}{D} rozłożyć na dwa czynniki $ x $ i $ y $ pierwsze względem
siebie. Jedno z rozwiązań stanowią zawsze liczby $ D $ i $ M $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź