XXXIII OM - I - Zadanie 12

Niech S będzie zbiorem $ n $ ($ n \geq 3 $) punktów przestrzeni. Dla każdej płaszczyzny $ \pi $ rozważamy liczbę $ R(\pi) $ równą sumie odległości punktów zbioru $ S $ od $ \pi $. Niech $ \pi_0 $ będzie taką płaszczyzną, że liczba $ R(\pi_0) $ jest minimalna. Dowieść, że pewne trzy punkty zbioru $ S $ należą do $ \pi_0 $.

Rozwiązanie

Udowodnimy najpierw lemat.

Lemat. Figura $ \pi $ jest płaszczyzną, a $ l $ prostą w niej zawartą. Żaden punkt zbioru $ S $ nie należy do $ \pi - l $. Natomiast $ \pi_1 $ jest płaszczyzną otrzymaną z $ \pi $ przez obrót dokoła $ l $ aż do napotkania na punkt zbioru $ S $. Wówczas zachodzi następująca nierówność $ R(\pi) > R(\pi_1) $.

Dowód. Dla dowolnego punktu $ P_i \in S $ oznaczymy odpowiednio literami: $ M_i $ - rzut prostokątny punktu $ P_i $ na prostą $ l $, $ \alpha_i $ -- miara kąta między prostą $ P_iM_i $ a płaszczyzną $ \pi $. Po obrocie płaszczyzny $ \pi $ dokoła prostej $ l $ o kąt $ \varphi $ odległość $ P_i $ od obrazu $ \pi(\varphi) $ płaszczyzny wynosi albo $ P_iM_i \cos (\varphi + \alpha_i) $, albo $ P_iM_i \cos (\varphi - \alpha_i) $. Na rysunku 5 przedstawiono odpowiadający tej sytuacji rzut na płaszczyznę prostopadłą do $ l $. Występujące tu liczby $ \varphi + \alpha_i $, $ \varphi - \alpha_i $ należą do przedziału $ \left( 0, \frac{\pi}{2} \right) $.
om33_1r_img_5.jpg
Niech $ 0 < \varphi_1 < \varphi_2 $ i $ (\varphi-1, \varphi_2 $) będzie przedziałem
tak małym, że dla każdego $ \varphi $ z tego przedziału po obu stronach płaszczyzny $ \pi(\varphi) $ pozostają te same punkty. Funkcja $ R(\varphi) = \sum P_iM_i \cos  (\varphi \pm \alpha_i) $ ma pochodną $ R'(\varphi) =- \sum P_iM_i  \sin (\varphi \pm \alpha_i) $ ujemną w przedziale $ (\varphi_1, \varphi_2) $. Nie przyjmuje ona w tym przedziale minimum. Minimum jest więc przyjmowane dla takich $ \varphi $, że $ \pi_1 = \pi(\varphi) $ zawiera pewien punkt zbioru $ S $ nie należący do osi obrotu $ l $. Wobec tego $ R(\pi) > R(\pi_1) $.

Z lematu wypływają następujące wnioski. Jeżeli płaszczyzna $ \pi $ nie zawiera żadnego punktu zbioru $ S $, to dla płaszczyzny $ \pi_1 $ otrzymanej z $ \pi $ przez obrót dookoła dowolnie wybranej osi zawartej w $ \pi $ aż do napotkania pierwszego punktu zbioru $ S $ spełniona jest nierówność

\[<br />
R(\pi) > R(\pi_1).<br />
\]

Jeżeli płaszczyzna $ \pi_1 $ zawiera dokładnie jeden punkt zbioru $ S $, to dla płaszczyzny $ \pi_2 $, otrzymanej z $ \pi_1 $ przez obrót dokoła osi zawartej w $ \pi_1 $ i przechodzącej przez ten punkt aż do napotkania drugiego punktu zbioru $ S $, spełniona jest nierówność

\[<br />
R(\pi_1)>R(\pi_2).<br />
\]

Jeśli płaszczyzna $ \pi_2 $ zawiera dwa punkty zbioru $ S $ (albo więcej punktów zbioru $ S $ leżących na jednej prostej), to dla płaszczyzny $ \pi_3 $, otrzymanej z $ \pi_2 $ przez obrót dokoła osi zawierającej te punkty aż do napotkania punktu zbioru $ S $ nie należącego do osi obrotu, spełniona jest nierówność

\[<br />
R(\pi_2)> R(\pi_3).<br />
\]

Wynika stąd teza zadania.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź