XXXIII OM - II - Zadanie 1

Dowieść, że jeżeli $ c, d $ są liczbami całkowitymi, przy czym $ c \neq d $, $ d > 0 $ to równanie

\[<br />
x^3 - 3cx^2 - dx + c = 0<br />
\]

ma nie więcej niż jeden pierwiastek wymierny.

Rozwiązanie

Zastosujemy znane twierdzenie:

Jeśli liczba wymierna zapisana w postaci ułamka nieskracalnego $ \frac{p}{q} $ jest pierwiastkiem równania $ a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_0 = 0 $ o współczynnikach całkowitych to liczba $ p $ jest dzielnikiem współczynnika $ a_0 $, liczba $ q $ jest dzielnikiem $ a_n $.

Wobec tego każdy pierwiastek wymierny równania $ x^3 - 3cx^2 - dx + c = 0 $ jest liczbą całkowitą dzielącą $ c $. Gdyby równanie to miało więcej niż jeden pierwiastek wymierny, na przykład liczby wymierne $ q_1 $, $ q_2 $ byłyby pierwiastkami, to wielomian $ x^3 - 3cx^2 - dx + c $ rozkładałby się na czynniki liniowe

\[<br />
(*) \qquad x^3 - 3cx^2 - dx + c = (x - q_1)(x - q_2)(x - q_3).<br />
\]

Z warunku (*) wynika, że istnieje również trzeci pierwiastek wymierny $ q_3 $. Pierwiastki te spełniałyby zależności

\[<br />
q_1 + q_2 + q_3 = 3c,<br />
\]
\[<br />
(*) \qquad<br />
q_1q_2+ q_1q_3 + q_2q_3 = -d,<br />
\]
\[<br />
q_1q_2q_3 = -c,<br />
\]

(wzory Viete'a). Liczby $ q_1 $, $ q_2 $, $ q_3 $ są, jak stwierdziliśmy poprzednio, liczbami całkowitymi będącymi dzielnikami liczby $ c $, skąd wynika, że wartość bezwzględna każdej z nich nie przekracza wartości bezwzględnej liczby $ c $. Wobec tego z równania $ q_1 + q_2 + q_3 = 3c $ wynika, że $ q_1 = q_2 = q_3 = c $. Ale w takim razie nie może być spełnione trzecie z równań (**) gdyż równanie $ c^3 = -c $ nie ma rozwiązania w liczbach całkowitych różnych od zera. Przypuszczenie, że dane równanie ma więcej niż jeden pierwiastek wymierny doprowadziło więc do sprzeczności.

Uwaga. Założenie, że $ d > 0 $ nie jest istotnie i nie zostało wykorzystane w dowodzie. Teza pozostaje prawdziwa, gdy $ d $ jest dowolną liczbą całkowitą. Natomiast założenie, że $ c \ne 0 $ jest istotne, bo na przykład równanie $ x^3 - x = 0 $ ma trzy pierwiastki wymierne $ 0 $, $ 1 $, $ -1 $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź