XXXIII OM - II - Zadanie 2

Płaszczyznę pokryto kołami w ten sposób, że środek każdego z tych kół nie należy do żadnego innego koła. Dowieść, że każdy punkt płaszczyzny należy do co najwyżej pięciu kół.

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że punkt $ A $ należy do sześciu kół z rozważanej rodziny i że $ O_1 $, $ O_2 $, $ O_3 $, $ O_4 $, $ O_5 $, $ O_6 $ są środkami tych kół. Wynika stąd, że pewien z kątów $ O_iAO_j $ $ (i,j = 1, 2, \ldots, 6) $ ma miarę nie większą od $ 60^\circ $ (sześć spośród kątów $ O_iAO_j $ daje w sumie kąt pełny), wobec tego w trójkącie $ O_iAO_j $ bok $ O_iO_j $ leżący naprzeciw tego kąta nie jest bokiem najdłuższym, gdyż $ O_iO_j \leq \max (AO_i,AO_j) $. Załóżmy, że $ O_iO_j \leq AO_i $. Stąd wynika: $ O_j $ należy do koła o środku $ O_i $. Przeczy to założeniu, że środek każdego z danych kół nie jest punktem żadnego innego koła. Wobec tego nie ma punktów płaszczyzny należących do więcej niż pięciu kół danej rodziny.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź