XXXIII OM - II - Zadanie 3

Dowieść, że dla każdej liczby naturalnej $ n \geq 2 $ zachodzi nierówność

\[<br />
\log_n 2 \cdot \log_n 4 \cdot \log_n 6 \ldots \log_n (2n - 2) \leq 1.<br />
\]

Rozwiązanie

Ponieważ dla liczb nieujemnych $ a $, $ b $ zachodzi nierówność

\[<br />
(*) \qquad<br />
\sqrt{ab} \le \frac{a+b}{2},<br />
\]

więc dla $ k = 1,2,\ldots,n $ mamy

\[<br />
\sqrt{\log_n  k \cdot \log_n  (2n-k)}\leq \frac{\log_n k + \log_n (2n-k)}{2} = \frac{1}{2} \log_n k(2n _ k).<br />
\]

Z nierówności (*) wynika również, że

\[<br />
k(2n-k) \leq \left( \frac{k + (2n-k)}{2} \right)^2 = n^2,<br />
\]
\[<br />
\frac{1}{2} \log_n k(2n-k) \leq \frac{1}{2} \log_n n^2 = \frac{1}{2} \cdot 2 =1<br />
\]

Otrzymujemy nierówności:

\[<br />
\sqrt{\log_n  k \cdot \log_n (2n - k)} \leq 1,<br />
\]

oraz

\[<br />
\log_n  k \cdot \log_n (2n - k) \leq 1.<br />
\]

Przypuśćmy, że $ n $ jest liczbą nieparzystą. Łącząc w iloczynie $ \log_n 2 \cdot \log_n 4 \cdot \ldots \cdot \log_n (2n - 2) $ wyraz pierwszy z ostatnim, drugi z przedostatnim itd. otrzymamy iloczyn wyrażeń postaci $ \log_n k \log_n (2n - k) $, z których każda jest na mocy poprzednich rozważań liczbą dodatnią nie większą od $ 1 $. Wynika stąd żądana nierówność.

Jeśli $ n $ jest liczbą parzystą, to analogiczne postępowanie jak dla liczb nieparzystych prowadzi do iloczynu wyrażeń postaci $ \log_n k \cdot \cdot \log_n „(2n - k) $ i czynnika $ \log_n (2n - n) = \log_n n = 1 $. Zatem i w tym przypadku otrzymujemy nierówność

\[<br />
\log_n 2 \cdot \log_n 4 \cdot \ldots \cdot \log_n (2n-2) \leq 1.<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź