XXXIII OM - II - Zadanie 4

Niech $ A $ będzie skończonym zbiorem punktów przestrzeni mającym tą własność, że dla dowolnych jego punktów $ P, Q $ istnieje izometria przestrzeni przeprowadzająca zbiór $ A $ na zbiór $ A $ oraz punkt $ P $ na punkt $ Q $. Udowodnić że istnieje sfera przechodząca przez wszystkie punkty zbioru $ A $.

Rozwiązanie

Niech $ S $ będzie środkiem ciężkości układu punktów zbioru $ A $. Każda izometria przekształcająca zbiór $ A $ na zbiór $ A $ przekształca też punkt $ S $ na $ S $. Dla dowolnych $ P, Q \in A $ izometria przekształcająca $ A $ na $ A $ oraz $ P $ na $ Q $ przekształca odcinek $ \overline{PS} $ na odcinek $ \overline{QS} $. Stąd wynika, że $ PS = QS $, to jest odległości każdych dwóch punktów zbioru $ A $ od punktu $ S $ równe. Wobec tego wszystkie punkty zbioru $ A $ leżą na pewnej sferze o środku $ S $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź