XXXIII OM - II - Zadanie 5

Niech $ q $ będzie liczbą parzystą dodatnią. Dowieść, że dla każdej liczby naturalnej $ n $ liczba

\[<br />
q^{(q+1)^n}+1<br />
\]

dzieli się przez $ (q + 1)^{n+1} $ ale nie dzieli się przez $ (q + 1)^{n+2} $.

Rozwiązanie

Przeprowadzimy dowód indukcyjny.

Dla $ n = 0 $ mamy $ q^{(q=1)^0} +1 = q + 1 $. Liczba ta jest podzielna przez
$ (q + 1)^{0+1} $, ale nie przez $ (q + 1)^{0+2} $.

Załóżmy, że dla pewnego $ n \geq 0 $ są spełnione warunki

\[<br />
(q + 1)^{n+1} \mid q^{(q+ 1)^n} \ \textrm{oraz}\ (q + 1)^{n+2} \not \mid q^{(q+1)^n} + 1,<br />
\]

to jest

\[<br />
(*) \qquad q^{(q + 1)^{n}} +1 = (q+ 1)^{n+1} \cdot s, \textrm{gdzie}\ q + 1 \not \mid s.<br />
\]

Należy pokazać, że również będą spełnione warunki

\[<br />
(q + 1)^{n+2} \mid q^{(q+ 1)^{n+1}}+1 \ \textrm{oraz}\ (q + 1)^{n+3} \not \mid q^{(q+1)^{n+1}} + 1.<br />
\]

Dokonamy, dla parzystych liczb $ q $, następujących przekształceń stosując wzór Newtona i zależność (*).

\[<br />
\begin{split}<br />
q^{(q + 1)^{n+1}} + 1 &= q^{(q+ 1)^{n} \cdot (q+1)}+1 = [q^{(q + 1)^{n}} +1)-1]^{q+1} +1 = \\<br />
&= [(q + 1)^{n+1}s -1]^{q+1} +1 =<br />
\sum_{j=0}^{q+1} \binom{q + 1}{j} (q+1)^{(n+1)j}s^j (-1)^{q+1-j} +1\\<br />
&= -1 + \binom{q + 1}{1} (q + 1)^{n+1}s -\binom{q + 1}{2} (q + 1)^{2(n+1)}s^2 \\<br />
&+ \ldots + \binom{q + 1}{q+1} (q + 1)^{(q+1)(n+1)}s^{q+1}+1 \\<br />
&+ (q+1)(q+1)^{n+1}s - \binom{q+1}{2} (q+1)^{2(n+1)}s^2 + \ldots +<br />
(q+1)^{(q+1)(n+1)} s^{q+1}\\<br />
&= (q+1)^{n+2} \left[ s- \binom{q+1}{2} (q+1)^n s^2 + \ldots +<br />
(q+1)^{qn+q-1} s^{q+1} \right].<br />
\end{split}<br />
\]

Suma występująca w ostatnim nawiasie kwadratowym nie dzieli się przez $ q + 1 $, gdyż ze wszystkich jej składników tylko $ s $ nie dzieli się przez $ q + 1 $. Wobec tego otrzymamy wzory

\[<br />
(q + 1)^{n+2} \mid q^{(q+1)^{n+1}}+1, \ \textrm{ale} \<br />
(q+1)^{n+3} \not \mid q^{(q+1)^{n+1}} + 1.<br />
\]

Kończy to dowód indukcyjny.

Na mocy zasady indukcji twierdzenie jest prawdziwe dla każdej liczby całkowitej nieujemnej $ n $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź