XXXIII OM - III - Zadanie 2

W czworokącie $ ABCD $ wpisanym w koło prosta przechodząca przez środek boku $ \overline{AB} $ i punkt przecięcia przekątnych jest prostopadła do boku $ \overline{CD} $. Udowodnić, że boki $ \overline{AB} $ i $ \overline{CD} $ są równoległe lub przekątne czworokąta są prostopadłe.

Rozwiązanie

om33_3r_img_6.jpg
Niech $ O $ będzie punktem przecięcia przekątnych, $ E $ - środkiem boku $ \overline{AB} $, $ F $ - punktem przecięcia boku $ \overline{CD} $ i prostej $ EC $. Ponieważ czworokąt $ ABCD $ jest wpisany w koło, więc

\[<br />
| \measuredangle BAC| = | \measuredangle BDC| = \alpha,<br />
\]
\[<br />
| \measuredangle ABD| = | \measuredangle ACD| = \beta.<br />
\]

Wobec tego

\[<br />
| \measuredangle BOE| = | \measuredangle DOF| = 90^\circ - \alpha,<br />
\]
\[<br />
| \measuredangle AOE| = | \measuredangle COF| = 90^\circ - \beta.<br />
\]

Z twierdzenia sinusów zastosowanego kolejno do trójkątów $ AOE $ i $ BOF $ otrzymujemy

\[<br />
\frac{\sin \alpha}{OE} = \frac{\sin (90^\circ - \beta)}{AE},\<br />
\frac{\sin \beta}{OE} = \frac{\sin (90^\circ - \alpha)}{BE}<br />
\]

Ponieważ $ EA = BE $, więc dzieląc ostatnie równania stronami otrzymamy

\[<br />
\frac{\sin \alpha}{\sin \beta} = \frac{\sin(90^\circ - \beta)}{\sin (90^\circ - \alpha)}<br />
\]

stąd na podstawie odpowiedniego wzoru redukcyjnego

\[<br />
\frac{\sin \alpha}{\sin \beta}=\frac{\cos \beta}{\cos \alpha}<br />
\]
\[<br />
\sin \alpha \cos \alpha = \sin \beta cos \beta,<br />
\]
\[<br />
\sin 2 \alpha = \sin 2 \beta.<br />
\]

Ponieważ $ 0 < \alpha < 90^\circ $, $ 0 < \beta < 90^\circ $, więc albo a) $ 2 \alpha = 2 \beta $, albo b) $ 2 \gamma = 180^\circ - 2\beta $. W przypadku a) zachodzi równość $ \alpha = \beta $, a więc proste $ AB $ i $ CD $ przecięte prostą $ AC $ wyznaczają przystające kąty naprzemianległe;

\[<br />
|\measuredangle BAC| = |\measuredangle ACD|.<br />
\]

Wynika stąd, że $ AB || CD $.
om33_3r_img_7.jpg
W przypadku b) otrzymujemy $ \alpha =90^\circ - \beta $, tj. $ \alpha + \beta = 90^\circ $ i w trójkącie $ ABO $ jest $ |\measuredangle BAC| + |\measuredangle ABO| = 90^\circ $. Wynika stąd, że $ |\measuredangle AOB|= 90^\circ $, to jest przekątne $ \overline{AC} $ i $ \overline{BD} $ są prostopadłe.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź