XXXIII OM - III - Zadanie 3

Wyznaczyć wszystkie pary liczb dodatnich $ x, y $ spełniające układ równań

\[<br />
\begin{split}<br />
x^2 + y^2 &= a^2 + b^2 \\<br />
x^3 + y^3 &= a^3 + b^3<br />
\end{split}<br />
\]

gdzie $ a, b $ są danymi liczbami dodatnimi.

Rozwiązanie

Jeżeli para liczb dodatnich $ (x,y) $ spełnia dany układ równań, to $ y = \sqrt{a^2 + b^2 - x^2} $,

\[<br />
x^3 + \sqrt{(a^2 + b^2 - x^2)}^3 - a^3 - b^3 = 0.<br />
\]

Rozważmy funkcję $ f $ określoną w przedziale $ (0, \sqrt{a^2 + b^2} $ wzorem

\[<br />
f(x) = x^3 + (\sqrt{a^2 + b^2 - x^2})^3 - a^3 - b^3.<br />
\]

Funkcja ta przyjmuje wartość $ 0 $ dla $ x = a $ oraz $ x = b $. Pokażemy, że nie ma ona innych miejsc zerowych. Funkcja $ f $ ma pochodną

\[<br />
f'(x) = 3x^2 + \frac{3}{2} (a^2 + b^2+ x^2)^{\frac{1}{2}} \cdot (- 2x) = 3x^2 - 3x\sqrt{a^2 + b^2 - x^2}.<br />
\]

Funkcja $ f' $ w przedziale $ (0, a^2 + b^2) $ ma tylko jedno miejsce zerowe $ x =<br />
\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} $ ($ 3x^2 - 3x \sqrt{a^2 + b^2-x^2}=0 $, $ 2x^2 = a^2 + b^2 $, $ x =\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} $, gdyż $ x > 0 $). Funkcja $ F $ ma tylko miejsca zerowe $ x = a $ i $ x= b $, gdyż pomiędzy tymi pierwiastkami jest tylko jedno miejsce zerowe pochodnej $ x = \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} $. Wobec tego jedynymi rozwiązaniami danego układu równań są pary $ (a, b) $ i $ (b, a) $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź