I OM - B - Zadanie 5

Motorówka wyruszyła o godzinie 9 w górę rzeki i w tym
samym momencie wrzucono z motorówki do rzeki piłkę. O godzinie 9
minut 15 motorówka zawróciła i popłynęła w dół rzeki. O której
godzinie motorówka dogoni piłkę?

Rozwiązanie

Na wodzie stojącej motorówka dopłynęłaby z powrotem do
piłki w czasie następnych 15 minut, tj. o godz. 9 min. 30. Tak
samo będzie i na rzece, gdyż prąd wody jednakowo znosi motorówkę
i piłkę. Motorówka dogoni piłkę o godz. 9 min. 30.

Gdyby ktoś nie wpadł na powyższe proste rozumowanie,
mógłby rozwiązać zadanie przy pomocy równań.

Na pozór wydaje się, że w zadaniu za mało jest danych, nie
powiedziano bowiem, jaka była prędkość własna motorówki, czyli
prędkość jej ruchu na wodzie stojącej, ani też - ile wynosiła prędkość
prądu w rzece,

Nie zrażając się tym oznaczmy przez $ x $ poszukiwaną ilość
godzin od godziny 9 do chwili, w której motorówka dogoniła piłkę.
Wprowadźmy oprócz tego prędkość prądu $ u $ wyrażoną w kilometrach
na godzinę i prędkość $ v $ motorówki na wodzie, stojącej również
wyrażoną w kilometrach na godzinę. Dla ułożenia równania
należy wyrazić przy pomocy tych wielkości drogę przebytą
przez piłkę i drogę przebytą przez motorówkę.

W ciągu $ x $ godzin piłka przepłynęła z prądem rzeki $ xu $ kilometrów.

Motorówka płynęła najpierw przez $ \frac{1}{4} $ godziny pod prąd, prędkość
jej wynosiła wówczas $ (v - u) $ kilometrów na godzinę, droga
przebyta wynosiła'zatem $ \frac{1}{4}(v - u) $ kilometrów; w pozostałym
czasie $ (x -\frac{1}{4}) $ godzin motorówka płynęła z prądem, więc z prędkością
$ (u + v) $ kilometrów na godzinę i przepłynęła $ (x - \frac{1}{4})(u + v) $
kilometrów, przebywając w odwrotnym kierunku najpierw odległość
$ \frac{1}{4}(v - u) $ kilometrów do miejsca startu, a następnie drogę $ xu $
kilometrów, przebytą przez piłkę do miejsca, w którym motorówka'
dogoniła piłkę.

Zatem

\[<br />
(x-\frac{1}{4})(u+v) = \frac{1}{4}(v-u)+xu<br />
\]

Gdy przekształcimy to równanie otwierając nawiasy i zbierając
po jednej stronie wyrazy zawierające $ x $, a po drugiej wyrazy pozostałe,
otrzymamy, równanie

\[<br />
xy = \frac{1}{2}v<br />
\]

Ponieważ prędkość własna motorówki $ v $ na pewno nie jest
równa zeru przeto możemy podzielić obie strony równania przez $ v $
otrzymujemy

\[<br />
x=\frac{1}{2}<br />
\]

A więc motorówka dogoni piłkę po upływie $ \frac{1}{2} $ godziny od chwili wyruszenia, czyli o godz. 9 min. 30.

Okazało się że nieznane wielkości $ u $ i $ v $ były potrzebne tylko
po to, aby ułożyć równanie. Przy wykonywaniu rachunku wielkości
te znikły, czyli - jak się mówi w matematyce - zostały
wyrugowane. Takie pomocnicze wielkości bywają nazywane parametrami.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź