XXXIII OM - III - Zadanie 5

Liczby całkowite $ x_0, x_1, x_2, \ldots, x_n = x_0, x_{n+1} = x_1 $ spełniają dla $ k = 1, 2, \ldots, n $ nierówność

\[<br />
(-1)^{x_k} \cdot x_{k-1} \cdot x_{k+1} > 0.<br />
\]

Dowieść, że różnica

\[<br />
\sum_{k=0}^{n-1} x_k - \sum_{k=0}^{n-1} |x_k|<br />
\]

dzieli się przez 4.

Rozwiązanie

Z warunku

\[<br />
(-1)^{x_k} \cdot x_{k-1} \cdot x_{k+1} > 0<br />
\]

wynika, że $ x_k \ne 0 $ dla $ k = 1, 2, \ldots, n $. Przyjmując $ \varepsilon_k = \frac{x_k}{|x_k|} $ otrzymamy nierówność

\[<br />
(-1)^{x_k} \varepsilon_{k-1} \varepsilon_{k+1} |x_{k-1} \cdot x_{k+1}| > 0.<br />
\]

Stąd dostajemy

\[<br />
(*) \qquad (-1)^{x_k} \varepsilon_{k-1} \varepsilon_{k+1} > 0.<br />
\]

Ponieważ mamy $ \varepsilon_k = \pm 1 $ więc zachodzi równość $ \varepsilon_k = (-1)^{\frac{x_k-1}{2}} $.

Podstawiamy $ \lambda_k = \frac{\varepsilon_k-1}{2} $. Z nierówności (*) otrzymamy

\[<br />
(-1)^{x_k} (-1)^{\lambda_{k+1}} (-1)^{\lambda_{k-1}} > 0,<br />
\]
\[<br />
(-1)^{x_k+\lambda_{k+1}+\lambda_{k-1}} > 0,<br />
\]

a więc

\[<br />
\nr{**} x_k + \lambda_{k+1} + \lambda_{k-1} \equiv 0 \pmod 2.<br />
\]

Podstawiając $ S_n = \sum_{k=0}^{n-1} x_k - \sum_{k=0}^{n-1} |x_k| $ otrzymamy

\[<br />
S_n = \sum_{k=0}^{n-1} x_k - |x_k| =<br />
\sum_{k=0}^{n-1} |x_k| (\varepsilon_k-1)=\sum_{k=0}^{n-1} 2\lambda_k |x_k|.<br />
\]

Ponieważ $ x_n = x_0 $, $ x_{n+1} = x_1 $, więc $ \varepsilon_n = \varepsilon_0 $, $ \varepsilon_{n+1} = \varepsilon_1 $ i $ \lambda_n = \lambda_0 $, $ \lambda_{n+1} = \lambda_1 $, Ponadto w oparciu o (**) i warunek

\[<br />
|x_k| \equiv x_k \pmod 2,<br />
\]

otrzymamy

\[<br />
\begin{split}<br />
\frac{S_n}{2} = \sum_{k=0}^{n-1} \lambda_k |x_k| \equiv<br />
\sum_{k=1}^{n} \lambda_k x_k \equiv \sum_{k=1}^{n}- \lambda_k (\lambda_{k+1} + \lambda_{k-1})=\\<br />
= - \sum_{k=1}^n \lambda_k \lambda_{k+1} - \sum_{k=1}^n \lambda_k \lambda_{k-1}<br />
(mod 2).<br />
\end{split}<br />
\]

Warunek $ S_n = 0 (mod 4) $ jest spełniony, gdyż

\[<br />
\frac{S_n}{2} = - \sum_{k=1}^n \lambda_k \lambda_{k+1} -<br />
\sum_{k=1}^n \lambda_k \lambda_{k-1}= -2 \sum_{k=1}^n \lambda_k \lambda_{k-1}<br />
\equiv (mod 2).<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź