XXXIII OM - III - Zadanie 6

Udowodnić, że w dowolnym czworościanie suma wszystkich kątów dwuściennych jest większa od $ 2\pi $.

Rozwiązanie

Udowodnimy najpierw następujący lemat.

Lemat. Suma miar kątów płaskich przy wierzchołkach kąta trójściennego jest mniejsza od $ 2\pi $.

Dowód. Niech $ O $ będzie wierzchołkiem kąta trójściennego, $ A $, $ B $, $ C $ - punktami leżącymi na poszczególnych krawędziach w równej odległości od $ O $.
om33_3r_img_8.jpg
Niech $ O' $ będzie rzutem prostokątnym punktu $ O $ na płaszczyznę $ ABC $. Ponieważ trójkąty równoramienne $ AOB $ i $ AO'B $ mają wspólną podstawą $ AB $, a pierwszy z nich ma dłuższe ramiona, więc

\[<br />
|\measuredangle AOB| < |\measuredangle AO'B|.<br />
\]

Mamy więc nierówności

\[<br />
|\measuredangle BOC| < |\measuredangle BO'C|,<br />
\]
\[<br />
|\measuredangle COA| < |\measuredangle CO'A|,<br />
\]

więc

\[<br />
|\measuredangle AOB| + |\measuredangle BOC| + |\measuredangle COA| < |\measuredangle AO'B| + |\measuredangle BO'C| + |\measuredangle CO'A|.<br />
\]

Jeżeli punkt $ O' $ należy do trójkąta $ ABC $, to oczywiście

\[<br />
|\measuredangle AO'B| + |\measuredangle BO'C| + |\measuredangle CO'A| = 2\pi,<br />
\]

jeżeli natomiast punkt $ O' $ leży na zewnątrz trójkąta $ ABC $ i na przykład punkt $ C $ należy do kąta $ AO'B $ (pozostałe przypadki rozważa się analogicznie), to

\[<br />
|\measuredangle AO'B| + |\measuredangle BO'C| + |\measuredangle CO'A| = 2|\measuredangle AO'B| < 2\pi .<br />
\]

om33_3r_img_9.jpg
Zatem w każdym przypadku otrzymujemy

\[<br />
|\measuredangle AOB| + |\measuredangle BOC| + |\measuredangle COA| < 2\pi<br />
\]

Niech teraz $ \alpha $, $ \beta $, $ \gamma $, $ \delta $, $ \varepsilon $, $ \zeta $ będą kątami dwuściennymi rozważanego czworościanu. W każdym wierzchołku czworościaniu narysujemy wektory normalne (tzn. prostopadłe) do ścian schodzących się w tym wierzchołku. Kąt o mierze $ \pi - \varphi $ jest wyznaczony przez wektory normalne do ścian tworzących kąt o mierze $ \varphi $. Suma miar kątów płaskich wyznaczonych przez trójkę wektorów wyprowadzonych z wierzchołka jest na mocy lematu mniejsza od $ 2\pi $, suma miar kątów płaskich wyznaczonych przez wektory narysowane we wszystkich wierzchołkach jest więc mniejsza od $ 8\pi $. Wśród tych kątów dwukrotnie występuje każdy z kątów o miarach $ \pi - |\alpha|, \pi - |\beta|, \ldots, \pi - |\zeta| $. Wobec tego $ 2(\pi - |\alpha| + \pi - |beta| + \pi - |\gamma| + \pi - |\delta| + \pi - |\varepsilon| + \pi - |\zeta|) < 8 \pi $, $ |12\pi - 2(|\alpha| + |\beta| + |\gamma| + |\delta| + |\varepsilon| + |\zeta| < 8\pi $, $ 2(|\alpha| + |\beta| + |\gamma| + |\delta| + |\varepsilon| + |\zeta|> 4\pi $, $ |\alpha| + |\beta| + |\gamma| + |\delta| + |\varepsilon| + |\zeta| > 2\pi $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź