XXXII - I - Zadanie 1

Dane są ciągi $ (x_n) $, $ (y_n) $ liczb rzeczywistych spełniające warunki

\[<br />
\begin{split}<br />
x_{n+1} %= x_n^3 - 3x_n \\<br />
y_{n+1} = y_n^3 - 3y_n  \quad \text{dla } n = 0, 1, 2, \ldots, \\<br />
x_0^2 = y_0 + 2.<br />
\end{split}<br />
\]

Dowieść, że $ x_n^2 = y_n + 2 $ dla $ n = 1, 2,\ldots $.

Rozwiązanie

Zastosujemy zasadę indukcji matematycznej.

1. Dla $ n = 1 $ jest $ x_1 = x_0^3 $, więc

\[<br />
\begin{split}<br />
x_1^2 &= (x_0^3-3x_0)^2 = x_0^6-6x_0^4q+9x_0^2 =\\<br />
&=(y_0+2)^3-6(y_0+2)^2+9(y_0+2)=\\<br />
&= y_0^3+6y_0^2+12y_0+8-6y_0^2-24y_0-24+9y_0+18 =\\<br />
&= y_0^3-3y_0+2 = y_1 + 2.<br />
\end{split}<br />
\]

2. Załóżmy, że dla pewnego naturalnego $ n $ jest $ x^2 = y_n + 2 $, udowodnimy, że $ x^2_{n+1} = y_{n +1} + 2 $. Istotnie,

\[<br />
\begin{split}<br />
x^2_{n+1} &= (x^3_n-3x_n)^2 = x^6_n-6x^4_n+9x_n^2 =\\<br />
&= (y_n+2)^3-6(y_n+2)^2 +9(y_n+2) = \\<br />
&=y^3_n+6y^2_n + 12y_n+ 8- 6y^2_n - 24y_n- 24+9y_n+ 18=\\<br />
& = y_n^3- 3y_n+ 2= y_{n + 1} + 2.<br />
\end{split}<br />
\]

Na mocy zasady indukcji jest $ x_n^2 = y_n+2 $ dla każdego naturalnego $ n $.

Uwaga. Rozumowanie przeprowadzone w punktach 1 i 2 polega na przeprowadzeniu właściwie tych samych rachunków. Można opuścić rachunki z punktu 1, jeśli tezę sformułować w postaci $ x^2_n = y_n+2 $ dla $ n = 0,1,2,\ldots $. Wtedy równość dla $ n = 0 $ ma miejsce na mocy założenia.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź