XXXII - I - Zadanie 3

Na kuli $ K $ opisano stożek $ S_1 $. Niech $ A $ będzie środkiem okręgu styczności stożka z kulą. Przez wierzchołek stożka $ S_1 $ poprowadzono płaszczyznę $ \Pi $ prostopadłą do osi stożka. Na kuli $ K $ opisano drugi stożek $ S_2 $, którego wierzchołek leży na płaszczyźnie $ \Pi $. Dowieść, że płaszczyzna okręgu styczności stożka $ S_2 $ z kulą $ K $ przechodzi przez punkt $ A $.

Rozwiązanie

Niech $ O $ będzie środkiem kuli, $ r $ - długością jej promienia. $ W_1 $, $ W_2 $ wierzchołkami stożków odpowiednio $ S_1 $ i $ S_2 $ (rys. 7).
om32_1r_img_7.jpg
Płaszczyzna wyznaczona przez punkty $ O $, $ W_1 $, $ W_2 $ zawiera punkt $ A $ będący środkiem okręgu styczności stożka $ S_1 $ z kulą $ K $ (punkt $ A $ leży na odcinku $ \overline{OW_1} $, zawiera też pewną średnicę $ \overline{BC} $ tego okręgu, środek $ R $ okręgu styczności stożka $ S_2 $ z kulą $ K $ oraz średnicę $ \overline{MN} $ tego okręgu. Niech $ D $ będzie punktem wspólnym odcinka $ \overline{MN} $ i prostej $ W_1O $. Wykażemy, że $ D = A $. Przypuśćmy, że punkt $ D $ leży między $ M $ i $ R $. Wobec tego $ MD = MR-RD $, $ ND = MR+RD $ i $ MD \cdot ND = (MR-RD) (MR+RD) = MR^2- RD^2 $. Stosując twierdzenie Pitagorasa do trójkątów $ MRW_2 $ i $ DRW_2 $ otrzymamy stąd

\[<br />
MD \cdot ND = MW_2^2-RW_2^2 -(DW_2^2-RW_2^2)= MW_2^2-DW_2^2<br />
\]

natomiast z twierdzenia Pitagorasa zastosowanego do trójkątów $ MW_2O $ oraz $ W_1DW_2 $ wynika, że

\[<br />
\begin{split}<br />
MD \cdot ND &= OW_2^2-OM^2-(DW^2_1+W_1W_2^2) = (OW_2^2-W_1W_2^2)-r^2-DW_1 =\\<br />
&= 0W_1^2-r^2-DW_1^2 = (OW_1 -r)(OW_1+r)-DW_1^2.<br />
\end{split}<br />
\]

Z twierdzenia o siecznej i stycznej wynika, że

\[<br />
(OW_1-r)(OW_1+r)= W_1B^2,<br />
\]

więc

\[<br />
MD \cdot ND = W_1B^2-DW_1^2.<br />
\]

Gdyby $ DW_1 < AW_1 $, to $ MD \cdot DN > W_1B^2-AW_1^2 = AB^2 $, ponieważ zaś $ AB^2 = BA \cdot AC $, więc $ MD \cdot DN > BA \cdot AC $, co nie jest możliwe, bo odcinek $ \overline{MN} $ przecina odcinek $ \overline{AB} $ w pewnym punkcie $ T $, przy czym $ MT \cdot TN = BT \cdot TC \leq AB^2 $. Gdyby było $ DW_1 > AW_1 $, to byłoby $ W_1O^2-DW_1 < W_1O^2-AW_1^2 = AB^2 $, co też nie jest możliwe. Musi więc być $ DW_1 = AW_1 $, skąd wynika, że $ A = D $. Wobec tego punkt $ A $ należy do prostej $ MN $, a więc do płaszczyzny okręgu styczności stożka $ S_2 $ z kulą $ K $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź