I OM - B - Zadanie 6

Dowieść, że liczba, która w dziesiątkowym układzie
pozycyjnym wyraża się za pomocą 91 jedynek, jest liczbą złożoną.

Rozwiązanie

Sposób I

Ponieważ $ 91=7\cdot 13 $, więc cyfry danej liczby $ L $ można podzielić na 13 grup
po 7 jedynek w każdej grupie:

\[<br />
1111111\; 1111111 \; \dots \; 1111111<br />
\]

Stąd widać, że liczba ta dzieli się przez $ 1111111 $; w ilorazie otrzymujemy liczbę

\[<br />
1\; 0000001 \; \dots \; 0000001<br />
\]

Aby rzecz ująć nieco dokładniej, oznaczmy dla krótkości $ 1111111=N $. Liczbę daną możemy przedstawić
jako sumę 13 składników.

\[<br />
L = N \cdot 10^{84} + N \cdot 10^{77} + \dots + N \cdot 10^7 + N<br />
\]

odpowiadających owym 13 grupom cyfr. Biorąc $ N $ przed nawias otrzymujemy

\[<br />
L = N\cdot(10^{84} + 10^{77} + \dots + 10^7 + 1),<br />
\]

a z tego widzimy, że liczba dana jest iloczynem dwóch liczb naturalnych różnych od 1,
a więc nie jest liczbą pierwszą.

Sposób II

Inny rozkład liczby $ L $ uzyskamy dzieląc jej cyfry na 7 grup
po 13 jedynek w każdej grupie; spostrzeżemy wówczas, że liczba L
dzieli się przez liczbę

\[<br />
M=1111111111111<br />
\]

Ujmując to dokładniej napiszemy, że

\[<br />
L = M \cdot 10^{78} + M \cdot 10^{65} + \dots + M \cdot 10^{13} + M,<br />
\]

skąd

\[<br />
L = M \cdot (10^{78} + 10^{65} + \dots + 10^{13} + 1)<br />
\]

Sposób III

Możemy też rozumować w sposób następujący:

\[<br />
L = 1 + 10 + 10^2 + \dots + 10^{90}<br />
\]

Liczba $ L $ jest zatem sumą 91 wyrazów postępu geometrycznego,
którego wyraz pierwszy równa się 1, a iloraz równa się 10.
Według znanego wzoru na sumę wyrazów postępu geometrycznego
mamy

\[<br />
L=\frac{10^{91}-1}{10-1}<br />
\]

Stąd

\[<br />
L=\frac{(10^7)^{13}-1}{10-1} = \frac{(10^7)^{13}-1}{10^7-1} \cdot \frac{10^7-1}{10-1}<br />
\]

Ponieważ

\[<br />
(*) \qquad \frac{a^n-b^n}{a-b} = a^{n-1}+a^{n-2}b+\dots + ab^{n-2} + b^{n-1}<br />
\]

więc podstawiając w powyższym wzorze za pierwszym razem
$ a = 10^7 $, $ n = 13 $, a za drugim razem $ a = 10 $, $ n = 7 $, widzimy, że
liczbę $ L $ rozłożyliśmy na dwa czynniki naturalne różne od 1. Są
to te same czynniki, co w rozkładzie (1).

Analogicznie uzyskamy rozkład (2), gdy napiszemy

\[<br />
L=\frac{(10^13)^{7}-1}{10-1} = \frac{(10^13)^{7}-1}{10^{13}-1} \cdot \frac{10^{13}-1}{10-1}<br />
\]

i we wzorze (*) podstawimy za pierwszym razem $ a = 10^{13} $, $ n = 7 $,
a za drugim razem $ a = 10 $, $ n = 13 $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź