XXXII - I - Zadanie 5

Wykazać, że jeśli $ O $ jesl środkiem, $ P $ - dowolnym punktem okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny $ A_lA_2A_3 $ różnym od punktu styczności, to

\[<br />
\sum_{i=1}^3 \frac{1}{\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{A_iP}} =0.<br />
\]

Rozwiązanie

Ponieważ $ \overrightarrow{A_iP} = \overrightarrow{A_iO} + \overrightarrow{OP} $, więc

\[<br />
S = \sum_{i=1}^3 \frac{1}{\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{A_iP}}=<br />
\sum_{i=1}^3 \frac{1}{\overrightarrow{OP} \cdot<br />
(\overrightarrow{A_iO} + \overrightarrow{OP})}=<br />
\sum_{i=1}^3 \frac{1}{\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{A_iO}+<br />
\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OP}}.<br />
\]

Jeśli długość promienia okręgu wpisanego wynosi $ r $, to $ OP= r $, $ A_iO = 2r $ $ (i = 1, 2, 3) $. Niech $ \varphi $ będzie kątem o minimalnej mierze spośród kątów utworzonych przez wektor $ \overrightarrow{OP} $ z wektorami $ \overrightarrow{A_iP} $. Wówczas pozostałe kąty są równe $ 120^\circ- \varphi, 120^\circ+ \varphi $. Wobec tego

\[<br />
\begin{split}<br />
S = &<br />
\frac{1}{r \cdot 2r \cdot \cos \varphi +r^2} + \frac{1}{r \cdot 2r \cdot \cos(120^\circ-\varphi)+r^2} + \frac{1}{r \cdot 2r \cdot \cos(120^\circ + \varphi)+r^2}=\\<br />
= & \frac{1}{r^2} \left( \frac{1}{2\cos \varphi+1} + \frac{1}{2\cos(120^\circ - \varphi)+1} + \frac{1}{2\cos(120^\circ + \varphi)+1} \right) =\\<br />
= & \frac{1}{r^2} \left(<br />
\frac{(2\cos(120^\circ - \varphi)+1)(2\cos(120^\circ + \varphi)+1)}{(2\cos \varphi+1)(2\cos(120^\circ - \varphi)+1)(2\cos(120^\circ + \varphi)+1)}\right.+\\<br />
&\qquad + \frac{(2\cos \varphi+1)(2\cos(120^\circ + \varphi)+1)}{(2\cos \varphi+1)(2\cos(120^\circ - \varphi)+1)(2\cos(120^\circ + \varphi)+1)}\\<br />
&\qquad +\left. \frac{ (2 \cos \varphi +1)<br />
(2 \cos (120^\circ - \varphi) +1)}{(2\cos \varphi+1)(2\cos(120^\circ - \varphi)+1)(2\cos(120^\circ + \varphi)+1)}\right)<br />
\end{split}<br />
\]

Wykażemy, że licznik tego ułamka równy jest $ 0 $. Ponieważ

\[<br />
\cos(120^\circ - \varphi) = \cos 120^\circ \cos \varphi + \sin 120^\circ \sin \varphi = -\frac{1}{2} \cos \varphi+ \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \varphi,<br />
\]
\[<br />
\cos(120^\circ + \varphi) = \cos 120^\circ \cos \varphi - \sin 120^\circ \sin \varphi = -\frac{1}{2} \cos \varphi- \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \varphi,<br />
\]

więc

\[<br />
\begin{split}<br />
&(2\cos(120^\circ -  \varphi )+1) (2\cos(120^\circ + \varphi)+1)+ (2\cos \varphi+1) (2\cos(120^\circ +  \varphi )+1) +\\<br />
&+ (2\cos \varphi+1)(2\cos(120^\circ -  \varphi)+1) = (-\cos  \varphi+\sqrt{3} \sin \varphi+1)(-\cos \varphi-\sqrt{3} \sin \varphi+1)+\\<br />
& + (2\cos \varphi+1) (-\cos  \varphi -\sqrt{3} \sin \varphi +1)+ (2 \cos  \varphi+1) (-\cos \varphi+ \sqrt{3} \sin \varphi +1) =\\<br />
& = (-\cos \varphi+1)^2- (\sqrt{3} \sin \varphi)^2 + (2\cos \varphi+ 1) (-2\cos \varphi+2) =\\<br />
& = \cos^2 \varphi-2\cos  \varphi+1-3\sin^2 \varphi-4\cos^2 \varphi+4\cos \varphi -2\cos \varphi+2 =\\<br />
&= - 3\cos^2  \varphi-3 \sin^2  \varphi+3 = -3+3= 0.<br />
\end{split}<br />
\]

Wynika stąd, że $ S = 0 $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź