XXXII - I - Zadanie 7

Niech $ (x_n) $ będzie ciągiem liczb naturalnych spełniających warunki
a) $ x_1 < x_2 < x_3 <\ldots $,
b) istnieje takie $ j \in \mathbb{N} $, $ j > 1 $, że $ x_j = j $,
c) $ x_{kl} = x_kx_l $, dla względnie pierwszych $ k,l \in \mathbb{N} $.
Wykazać, że $ x_n = n $ dla każdego $ n $.

Rozwiązanie

Ponieważ liczb naturalnych mniejszych od danej liczby naturalnej $ n $ jest $ n-1 $l, więc jeśli dla pewnego $ j $ jest $ x_j = j $, to wobec warunku a) musi być $ x_k = k $ dla $ k \leq j $. Jeśli liczba $ j $ wymieniona w warunku b) jest większa od $ 2 $, to liczba $ j-1 $ jest większa od $ 1 $ oraz jest względnie pierwsza z liczbą $ j $. Jest przy tym $ x_{j-1} = j- 1 $, więc na mocy warunku c) jest też $ x_{(j-1)j}= (j-1)j $. Ponieważ $ (j-1)^2 < (j-1)j $, więc $ x_{(j-1)^2} = (j-1)^2 $, a wobec tego, że liczby $ (j- 1)^2 $ oraz $ j $ są względnie pierwsze otrzymujemy na mocy c), że $ x_{(j- 1)^2j} = (j- 1)^2j $. Rozumując analogicznie otrzymamy $ x_{(j- 1)^mj} = (j- 1)^mj $ dla $ m= 1,2,\ldots $.

Ponieważ dla każdej liczby naturalnej $ n $ istnieje $ m $, dla którego $ n < (j- 1)^mj $, więc na mocy tego, co stwierdziliśmy na początku rozwiązania jest $ x_n =n $ dla każdego $ n $.

Pozostał do rozpatrzenia przypadek, gdy $ j $ wymienione w warunku b) równe jest $ 2 $. Jest wtedy $ x_2 = 2 $. Niech $ x_3= 3 + q $. Wobec tego $ x_6 = x_2 \cdot x_3 = 2 \cdot (3 + q) = 6+2q $. Wobec tego $ x_5 <6+2q $, więc $ x_5 \leq 5 + 2q $, a zatem $ x_{10} = x_2x_5 \leq 10+4q $, stąd $ x_9 \leq 9+4q $, $ x_{18} = x_2x_9 \leq 18+8q $. Z ostatniej nierówności wynika, że $ x_{15} \leq 15+8q $. Z drugiej strony $ x_5 \geq x_3 + 2 = 5+q $, więc $ x_{15} = x_3x_5 \geq (3 + q)(5 + q) = 15 + 8q+q^2 $. Otrzymujemy stąd, że

\[<br />
15 + 8q+q^2 \leq 15 + 8q,<br />
\]

skąd wynika $ q = 0 $. Wobec tego jest $ x_3 = 3 $ i zadanie zostało sprowadzone do rozważonego już wyżej przypadku.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź