XXXII - I - Zadanie 8

Dany jest punkt $ P $ wewnątrz kuli ograniczonej sferą $ S $. Przekształcenie $ f: S\to S $ jest określone jak następuje: dla punktu $ X \in S $ punkt $ f(X) \in S $, $ f(X) \neq X $ oraz $ P\in \overline{Xf(X)} $. Udowodnić, że obrazem dowolnego okręgu zawartego w $ S $ w przekształceniu $ f $ jest okrąg.

Rozwiązanie

Niech $ k $ będzie okręgiem zawartym w sferze $ S $, niech $ S_1 $ będzie sferą zawierającą $ k $ i punkt $ P $, $ P_1 $ niech będzie takim punktem, że odcinek $ \overline{PP_1} $ jest średnicą $ S_1 $. Dla każdego $ X \in k $ kąt $ PXP_1 $ jest prosty. Niech $ X' $ będzie rzutem prostokątnym punktu $ f(X) $ na prostą $ PP_1 $. Trójkąty $ f(X)PX' $ oraz $ P_1PX $ są podobne, więc

\[<br />
\frac{PX}{Pf(P)} = \frac{PX}{PP_1},<br />
\]
\[<br />
PX' = \frac{PX \cdot Pf(X)}{PP_1}.<br />
\]

Wartość ostatniego wyrażenia nie zależy od położenia punktu $ X $ na okręgu $ k $ na mocy twierdzenia mówiącego, że iloczyn odcinków, na jakie ustalony punkt dzieli cięciwy okręgu, jest stały. Wobec tego dla każdego punktu $ X \in k $ rzut punktu $ f(X) $ na $ PP_1 $ jest tym samym punktem. Wynika stąd, że wszystkie obrazy $ f(X) $ należą do płaszczyzny prostopadłej do prostej $ PP_1 $. Ponieważ obrazy te należą do sfery $ S $, więc należą do części wspólnej sfery i płaszczyzny, tj. do pewnego okręgu $ o $. Wobec tego $ f(k) \subset o $. Ponieważ jednak przekształcenie $ f $ jest odwracalne, przy czym $ f^{-1} = f $, a przez analogiczne rozumowanie stwierdzamy, że $ f(o) \subset k $, więc okrąg $ o $ jest obrazem okręgu $ k $ (i jednocześnie $ k $ jest obrazem okręgu $ o $).

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź