XXXII - I - Zadanie 9

W przestrzeni dany jest zbiór $ 3n $ punktów, z których żadne cztery nie leżą na jednej płaszczyźnie. Udowodnić, że zbiór ten można rozbić na $ n $ takich zbiorów trójelementowych $ \{A_i, B_i, C_i\} $, że trójkąty $ A_iB_iC_i $ są parami rozłączne.

Rozwiązanie

Dowód indukcyjny. Dla $ n = 1 $ teza twierdzenia jest oczywiście spełniona. Załóżmy, że teza jest spełniona dla pewnego $ n $ i rozpatrzmy $ 3(n+1) $ punktów w przestrzeni, z których żadne cztery nie leżą na jednej płaszczyźnie. Najmniejszy zbiór wypukły zawierający rozważane punkty jest wielościanem, którego każda ściana jest trójkątem (bo żadne cztery punkty nie leżą w jednej płaszczyźnie). Niech $ A $, $ B $, $ C $ będą wierzchołkami jednego z tych trójkątów. Zbiór pozostałych $ 3n $ punktów można na mocy założenia indukcyjnego rozbić na $ n $ zbiorów $ \{A_1, B_1, C_1\} $ o tej własności, że trójkąty $ A_iB_iC_i $ są parami rozłączne. Ponieważ wszystkie punkty $ A_1,B_1 C_1 $ leżą po jednej stronie płaszczyzny $ ABC $, więc trójkąt $ ABC $ jest rozłączny z każdym z trójkątów $ A_iB_iC_i $. Otrzymaliśmy więc podział zbioru $ 3(n+1) $ punktów na podzbiory trójelementowe o wymaganej własności.

Na mocy zasady indukcji teza twierdzenia jest spełniona dla każdej liczby naturalnej $ n $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź