XXXII - I - Zadanie 10

Wyznaczyć wszystkie funkcje $ f $ odwzorowujące zbiór wszystkich liczb wymiernych $ \mathbb{Q} $ w siebie spełniające następujące warunki:
a) $ f(1)=2 $,
b) $ f(xy) = f(x)f(y)-f(x+y)+1 $ dla $ x, y \in \mathbb{Q} $.

Rozwiązanie

Jeśli funkcja $ f $ spełnia warunki a) i b), to funkcja $ g: \mathbb{Q} \to \mathbb{Q} $ określona wzorem $ g(x) = f(x)- 1 $ spełnia warunki

a') $ g(1) = 1 $

oraz $ g(xy)+1 = (g(x)+1)(g(y)+1)-g(x+y)-1+1 $, $ g(xy)+1 = g(x)g(y)+g(x)+g(y)+1-g(x+y) $, tj.

b') $ g(xy)+g(x+y) = g(x)g(y)+g(x)+g(y) $.

Podstawmy w ostatniej równości $ y = 1 $. Otrzymamy

\[<br />
g(x)+g(x+1)= g(x) \cdot g(1)+g(x)+g(1),<br />
\]

więc na mocy a')

\[<br />
g(x)+g(x+1)= g(x)+g(x)+1.<br />
\]

Stąd

\[<br />
(*) \qquad g(x+1)= g(x)+1.<br />
\]

Podstawiając w ostatniej równości kolejno $ x = 0 $, $ x =- 1 $ wyznaczymy pamiętając o a')

\[<br />
g(1)= g(0)+1,\ \textrm{więc} \ g(0)= 0<br />
\]
\[<br />
g(0)=g(-1)+1,\ \textrm{więc} g(-1)= -1.<br />
\]

Przez oczywiste rozumowanie indukcyjne wynika stąd oraz z (*), że

\[<br />
g(n)=n<br />
\]

dla każdej liczby całkowitej $ n $, oraz

\[<br />
g(m+x) = m+g(x)<br />
\]

dla liczby całkowitej $ m $ oraz wymiernej $ x $.

Niech teraz $ m $ będzie liczbą całkowitą, $ n $ - liczbą naturalną.
Dla wyznaczenia $ g\left( \frac{m}{n} \right) $ podstawmy w równości b) $ x = m $, $ y = \frac{1}{n} $.

\[<br />
g\left( \frac{m}{n} \right) + g\left( m+\frac{1}{n} \right)=<br />
g(m) \cdot g\left( \frac{1}{n} \right) + g(m) + g\left( \frac{1}{n} \right).<br />
\]

Ponieważ $ g(m)= m $ i $ g\left( m+\frac{1}{n} \right)=m+g \left( \frac{1}{n} \right) $, więc

\[<br />
g\left( \frac{m}{n} \right)+ m + g\left( \frac{1}{n} \right)=m \cdot g \left( \frac{1}{n} \right) + m + g \left( \frac{1}{n} \right),<br />
\]
\[<br />
g \left( \frac{m}{n} \right) = m \cdot g \left( \frac{1}{n} \right).<br />
\]

Jeśli $ m = n $, to $ 1 = g(1) = n \cdot g \left( \frac{1}{n} \right) $, skąd wynika, że

\[<br />
g \left( \frac{1}{n} \right)=\frac{1}{n}.<br />
\]

Wobec tego

\[<br />
g \left( \frac{m}{n} \right)=\frac{m}{n}.<br />
\]

Oznacza to, że jeśli funkcja $ g $ spełnia warunki a') i b'), to $ g(x) = x $ dla każdego $ x $ wymiernego. Wobec tego jeśli funkcja $ f $ spełnia warunki a) i b), to $ f(x) = x+ 1 $. Z drugiej strony oczywiście funkcja $ f $ określona tym wzorem spełnia warunki a) i b). Jedynym rozwiązaniem zadania jest więc funkcja $ f: \mathbb{Q} \to \mathbb{Q} $, określona wzorem $ f(x) = x+1 $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź