XXXII - I - Zadanie 11

Wyznaczyć wszystkie liczby naturalne $ n $, dla których prawdziwe jest twierdzenie: Jeśli w wielokącie wypukłym o $ 2n $ bokach wpisanym w koło jest $ n-1 $ par boków równoległych, to pozostałe dwa boki też są równoległe.

Rozwiązanie

om32_1r_img_9.jpgom32_1r_img_10.jpg
Dwie cięciwy okręgu są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje wspólna ich symetralna (przechodząca przez środek $ O $ okręgu). Niech $ \overline{A_iA_{i+1}} $, $ \overline{B_iB_{i+1}} $ będą równoległymi bokami wielokąta wpisanego w koło dla $ i = 1,2,\ldots,2k $. Pokażemy, że wówczas odcinki $ \overline{A_1B_{2k+1}} $, $ \overline{A_{2k+1}B_{1}} $ są równoległe, skąd wyniknie prawdziwość danego twierdzenia dla nieparzystych $ n $. Ponieważ złożenie dwóch symetrii osiowych o osiach przecinających się w punkcie $ O $ jest obrotem dokoła punktu $ O $, więc składając kolejno symetrie osiowe, których osiami są wspólne symetralne boków $ \overline{A_iA_{i+1}} $ i $ \overline{B_iB_{i+1}} $ otrzymamy obrót przekształcający $ A_1 $ na $ A_{2k+1} $ oraz $ B_1 $ na $ B_{2k +1} $ (rys. 9).

Wynika stąd, że $ \measuredangle A_1OA_{2k + 1} = \measuredangle Bf_1OB_{2k+ 1} $. Niech prosta $ k $ zawierająca dwusieczną kąta $ A_1OB_{2k + 1} $ przecina odcinek $ \overline{A_1B_{2k + 1}} $ w punkcie $ S $, natomiast odcinek $ \overline{A_{2k+1}B_{1}} $ w punkcie $ T $.

Ponieważ

\[<br />
\begin{split}<br />
\measuredangle A_{2k +1}OT<br />
&= 180^\circ-(\measuredangle A_1OA_{2k+1}  + \measuredangle A_1OS)=\\<br />
&= 180^\circ-(\measuredangle B_1OB_{2k +1} + \measuredangle B_{2k + 1}OS)=\measuredangle B_1OT,<br />
\end{split}<br />
\]

więc prosta $ k $ jest wspólną symetralną odcinków $ \overline{A_1B_{2k+1}} $ i $ \overline{A_{2k+1}B_{1}} $. Wobec tego z równoległości $ 2k $ par boków wielokąta mającego $ 2 \cdot (2k+ 1) $ wierzchołków wynika równoległość pozostałej pary boków.

Pokażemy teraz, że dla $ n $ parzystego dane twierdzenie nie jest prawdziwe. W tym celu zauważmy, że dla $ n = 2k+1 $ istnieje wielokąt wpisany w koło mający $ 2n $ boków, którego każdy bok jest równoległy do pewnego innego oraz istnieje para boków równoległych mających różne długości. Wielokąt taki możemy otrzymać w następujący sposób. Prowadzimy przez środek koła $ 2k+1 $ prostych tak, by dwie sąsiednie tworzyły kąt $ \frac{180^\circ}{2k+1} $. Następnie obieramy na okręgu koła punkt $ A $ tak, by nie leżał w środku łuku wyznaczonego przez dwie sąsiednie proste $ l_1 $ i $ l_{2k + 1} $ ani na żadnej z tych prostych. Znajdujemy teraz obraz $ A_2 $ punktu $ A_1 $ w symetrii względem prostej $ l_1 $, obraz $ A_2 $ punktu $ A_1 $ w symetrii względem prostej $ l_2 $ itd. (rys. 10).

Otrzymamy w ten sposób kolejne wierzchołki $ 2(2k+1) $-kąta wpisanego w koło, w którym boki przeciwległe są równoległe (mają wspólną symetralną $ l_i $), ale mają różne długości, bo $ AA_1 = A_2A_3 = \ldots= A_{4k}A_{4k + 1} \ne A_1A_2 = A_3A_4 = \ldots = A_{4k+1}A $. Niech teraz $ n = 2k+2 $. Rozważmy $ 2(2k+1) $-kąt $ A_1A_2 \ldots A_{2k + 1}B_1B_2 \ldots B_{2k + 1} $ wpisany w koło, w którym wszystkie pary boków przeciwległych są równoległe oraz $ A_{2k+1}B_1 \ne A_1 B_{2k+1} $ (ale $ A_{2k + 1}B_1 \parallel A_1B_{2k + 1} $). Niech $ B_{2k+2} $ będzie środkiem łuku $ A_1B_{2k + 1} $, natomiast $ A_{2k+2} $ niech będzie punktem przecięcia z okręgiem prostej równoległej do $ B_{2k+1}B_{2k+2} $ poprowadzonej przez $ A_{2k + 1} $. Wobec tego w $ 2(2k+2) $-kącie $ A_1 \ldots A_{2k + 2}B_1 \ldots B_{2k + 2} $ jest $ 2k+1 $ par boków przeciwległych równoległych, ale boki $ \overline{A_{2k + 2}B_1} $ i $ \overline{A_{1}B_{2k+1}} $ nie są równoległe, bo w przeciwnym razie kąty $ A_1B_{2k+1}B_{2k+2} $ i $ B_1A_{2k + 1}A_{2k + 2} $ byłyby równe (bo ich odpowiednie ramiona byłyby równoległe), ale są to przecież kąty wpisane oparte na nierównych cięciwach. Przykład tu skonstruowany pokazuje, że twierdzenie nie jest prawdziwe dla parzystych $ n $.

Wobec tego twierdzenie jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy $ n $ jest liczbą nieparzystą większą od $ 1 $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź