XXXII - I - Zadanie 12

Dla danej liczby naturalnej $ n > 1 $ określamy ciąg $ (a_0, a_1, \ldots, a_n) $ jak następuje:

\[<br />
\begin{split}<br />
a_0 &=\frac{1}{2}, \\<br />
a_{k + 1} = a_k + \frac{a_k}{n^2}\quad \text{ dla }\quad k = 0, 1, 2, n - 1.<br />
\end{split}<br />
\]

Udowodnić, że $ a_n < 1 $.

Rozwiązanie

Najpierw udowodnimy indukcyjnie, że

\[<br />
a_k = \frac{1}{2} \left( 1+ \frac{1}{n^2}\right)^k.<br />
\]

Dla $ k = 0 $ jest $ \frac{1}{2} \left( 1+ \frac{1}{n^2}\right)^0 = \frac{1}{2} = a_0 $.

Jeśli $ a_k = \frac{1}{2} \left( 1+ \frac{1}{n^2}\right)^k $ dla pewnego $ k,0 \leq k \leq n-1 $, to

\[<br />
a_{k+1}= a_k + \frac{a_k}{n^2}=a_k(1+\frac{1}{n^2})=<br />
\frac{1}{2} \left( 1+ \frac{1}{n^2}\right)^{k+1}<br />
\]

Istotnie więc na mocy zasady indukcji jest

\[<br />
a_k = \frac{1}{2} \left( 1+ \frac{1}{n^2}\right)^k \ \textrm{dla} \ k=0,1,\ldots,n.<br />
\]

W szczególności

\[<br />
a_n = \frac{1}{2} \left( 1+ \frac{1}{n^2}\right)^n.<br />
\]

Na mocy zadania przygotowawczego $ K $ jest

\[<br />
 \left( 1+ \frac{1}{n^2}\right)^n < 2,<br />
\]

skąd wynika, że $ a_n > 1 $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź